[논문 리뷰] Branch-and-Bound Solves Random Binary Packing IPs in Polytime

Santanu S. Dey, Yatharth Dubey외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 30.

Vehicle Routing Optimization Methods인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건의 수가 고정되어 있을 때, 변수 분할을 사용하는 분할정수법(branch-and-bound)가 랜덤 이진 포장 정수계획문제를 높은 확률으로 다항시간 내에 해결할 수 있음을 증명한다. 저자들은 무작위로 생성된 인스턴스에 대해 표준 변수 분할을 분석하고, 알고리즘의 노드 탐색 수가 다항식 범위에 머무르며, 실용적 성능의 이론적 근거를 제시한다.

ABSTRACT

Branch-and-bound is the workhorse of all state-of-the-art mixed integer linear programming (MILP) solvers. These implementations of branch-and-bound typically use variable branching, that is, the child nodes are obtained by fixing some variable to an integer value v in one node and to v + 1 in the other node. Even though modern MILP solvers are able to solve very large-scale instances efficiently, relatively little attention has been given to understanding why the underlying branch-and-bound algorithm performs so well. In this paper our goal is to theoretically analyze the performance of the standard variable branching based branch-and-bound algorithm. In order to avoid the exponential worst-case lower bounds, we follow the common idea of considering random instances. More precisely, we consider random packing integer programs where the entries of the coefficient matrix and the objective function are randomly sampled. Our main result is that with good probability branch-and-bound with variable branching explores only a polynomial number of nodes to solve these instances, for a fixed number of constraints. To the best of our knowledge this is the first known such result for a standard version of branch-and-bound. We believe that this result provides a compelling indication of why branch-and-bound with variable branching works so well in practice.

연구 동기 및 목표

• 표준 분할정수법가 최악의 경우는 지수시간 복잡도를 가지지만 실무에서 매우 우수한 성능를 보이는 이유를 이론적으로 설명하는 것.
• 이진 포장 정수계획문제의 무작위 인스턴스에 대한 표준 분할정수법의 성능을 분석하는 것.
• 제약 조건의 수가 고정되어 있을 때 탐색하는 노드 수가 높은 확률로 다항식 범위에 머무르는 것을 입증하는 것.
• 랜덤 MILP 인스턴스에 대한 표준 변수 분할의 첫 번째 공식적 분석을 제공하는 것.
• 현대 MILP 솔버의 경험적 성공에 대한 이론적 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 계수와 목적함수 항목이 i.i.d. 랜덤 변수인 랜덤 이진 포장 정수계획문제를 고려한다.
• 각 노드에서 변수를 0 또는 1로 고정하는 표준 변수 분할 규칙을 분석한다.
• 이 분할 규칙 하에서 분할정수법 트리에서 탐색하는 예상 노드 수에 초점을 맞춘다.
• 확률론적 및 농도 이론을 사용하여 탐색 트리의 크기를 근사한다.
• 증명는 랜덤 인스턴스에서 정수성 갭과 보조 문제 행동이 잘 제어된다는 것을 보여주는 데 의존한다.
• 점점 증가하는 변수 수에 대한 점근적 경계를 도출하기 위해 제약 조건의 수를 고정한 조건 하에서 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 변수 분할을 사용하는 분할정수법는 많은 실세계 MILP 인스턴스를 실무에서 매우 효율적으로 해결하는가?
• RQ2 우리가 분할정수법에서 탐색하는 노드 수가 랜덤 인스턴스에 대해 다항식 범위에 머무르는 것을 이론적으로 입증할 수 있는가?
• RQ3 변수 분할은 랜덤 이진 포장 정수계획문제에서 다항식 크기의 탐색 트리를 유도하는가?
• RQ4 계수 행렬과 목적함수에 대한 랜덤성은 성능의 타당성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 랜덤 인스턴스에 대한 표준 분할정수법의 경험적 강건성에 대한 이론적 설명은 존재하는가?

주요 결과

• 변수 분할을 사용하는 분할정수법는 높은 확률로 랜덤 이진 포장 정수계획문제를 해결하기 위해 다항식 수의 노드만 탐색한다.
• 이 결과는 변수 수가 증가하더라도 제약 조건의 수가 고정되어 있을 때 성립한다.
• 이 분석은 제약 조건 행렬과 목적함수 벡터의 모든 항목이 독립적으로 무작위로 샘플링된 인스턴스에 적용된다.
• 이것은 랜덤 MILP 인스턴스에 대해 표준 변수 분할의 다항시간 성능을 입증하는 데 있어 알려진 바 있는 첫 번째 이론적 결과이다.
• 이러한 발견은 현대 MILP 솔버의 실용적 효율성에 대한 강력한 이론적 근거를 제공한다.
• 결과는 랜덤 인스턴스의 구조가 변수 분할 하에서 분할정수법 트리의 크기를 본질적으로 제한한다는 것을 시사한다.