[논문 리뷰] Branching Feller diffusion for cell division with parasite infection

Vincent Bansaye, Viet Chi Tran|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 02.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 19인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 세포 분열 과정에서 기생충의 동역학을 연속 시간 분포 Feller 확산 과정을 사용하여 모델링한다. 각 세포 내 기생충 부담은 Feller 확산 과정으로 진화하며, 세포 분열 시 무작위로 분할된다. 주요 기여는 기생충 부담에 따른 세포 분열률의 의존성에 따라 감염된 세포가 회복(비율 감소)하는지 또는 증식(양의 비율이 고도로 감염됨)하는지를 결정하는 기준을 수립하는 것이다.

ABSTRACT

We describe the evolution of the quantity of parasites in a population of cells which divide in continuous-time. The quantity of parasites in a cell follows a Feller diffusion, which is splitted randomly between the two daughter cells when a division occurs. The cell division rate may depend on the quantity of parasites inside the cell and we are interested in the cases of constant or monotone division rate. We first determine the asymptotic behavior of the quantity of parasites in a cell line, which follows a Feller diffusion with multiplicative jumps. We then consider the evolution of the infection of the cell population and give criteria to determine whether the proportion of infected cells goes to zero (recovery) or if a positive proportion of cells becomes largely infected (proliferation of parasites inside the cells).

연구 동기 및 목표

• 각 세포 내 기생충 부담의 연속 시간 진화를 모델링하기 위해, 기생충 양이 Feller 확산을 따르는 세포 집단에서 기생충 부담의 진화를 수립한다.
• 세포 분열을 무작위 분할을 통해 자식 세포 간 기생충을 나누는 방식으로 모델링하며, 일반적인 무작위 분수 Θ를 통해 비대칭 분배를 허용한다.
• 기생충 부담 x에 따른 세포 분열률 r(x)의 영향을 분석하며, 상수, 감소, 증가하는 경우를 포함한다.
• 감염 세포 비율이 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하는지(회복) 또는 양의 상태로 유지되는지 여부를 결정하는 조건을 도출한다.
• 이산 모델이 연속 Feller 확산 극한으로 수렴하는 조건을 수립하고, 그 극한 과정이 국소적이지 않은 분열과 곱셈적 점프를 갖는 초과정(superprocess)으로 특성화됨을 규명한다.

제안 방법

• 단일 세포 내 기생충 부담을 Feller 확산으로 모델링: dX_t = gX_t dt + √(2σ²X_t) dB_t, g > 0 및 σ > 0 조건으로 초초기성(super-criticality) 확보.
• 세포 분열을 기생충 부담 x에 따라 달라지는 비율 r(x)를 갖는 연속 시간 마르코프 점프 과정으로 모델링.
• 분열 시 기생충은 무작위 분수 Θ ∈ [0,1]를 통해 두 자식 세포 간 분할되며, 이는 기생충 과정의 곱셈적 점프를 유도한다.
• 측정값을 갖는 과정 Z_t ∈ M_F(R_+)로 표현된 세포 간 기생충 부담 분포를 기술하기 위해 마틴게일 문제 접근법을 사용한다.
• 유계성과 유한차원 분포의 수렴을 이용해 이산 근사의 약한 수렴을 확립한다.
• 생성자(operator)가 소산성(dissipative)이고 닫혀 있음을 보임으로써 마틴게일 문제의 해가 유일함을 증명하여, 극한 과정이 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간이 증가함에 따라 감염 세포 비율이 0으로 수렴하는 조건(회복)과 양의 상태로 유지되는 조건(증식)은 무엇인가?
• RQ2 기생충 부담 x에 따른 세포 분열률 r(x)의 의존성은 감염의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 기생충 동역학이 곱셈적 점프를 갖는 Feller 확산을 따를 경우, 단일 세포 계보 내 기생충 부담 분포의 극한 행동은 어떠한가?
• RQ4 이 모델의 연속 시간, 연속 상태 수식은 이산 시간 또는 이산 상태 모델과 비교해 복구 기준에서 어떻게 다를까?
• RQ5 전체 인구 수준의 동역학은 국소적이지 않은 분열과 곱셈적 점프를 갖는 초과정(superprocess)으로 기술될 수 있는가? 그에 상응하는 생성자는 무엇인가?

주요 결과

• 단일 세포 계보 내 기생충 부담은 분열 시점에서 곱셈적 점프를 갖는 Feller 확산을 따르며, g > 0일 경우 양의 확률 1 - exp(-g x₀ / σ²)로 생존한다.
• 분열률 r(x)가 일정할 경우, 이 모델은 이산 시간 모델과 다른 복구 행동를 보이며, 감염의 멸종에 대한 고유한 임계값을 갖는다.
• r(x)가 감소하는 경우, 기생충 부담 증가에 따라 분열률이 크게 감소하면 감염의 회복 가능성이 높아진다. 반대로 r(x)가 증가하는 경우, 증식이 유리해진다.
• 극한 인구 수준 과정 Z_t는 생성자가 확산 동역학(σ²x f''(x))과 국소적이지 않은 분열(∫ r(x) [f(θx) + f((1-θ)x) - f(x)] K(dθ) Z(dx))를 포함하는 측정값을 갖는 확산 과정이다.
• 이산 모델의 연속 극한 수렴은 유계성과 마틴게일 문제 접근법을 통해 확립되었으며, 극한 과정은 유일하게 특성화된다.
• 극한 과정의 생성자는 소산성이고 닫혀 있으므로, 경로 유일성과 근사 수열의 약한 수렴이 보장된다.