[논문 리뷰] Branching of some holomorphic representations of SO(2,N)

Henrik Seppänen|ArXiv.org|2009. 07. 01.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 SO(2,n)의 해석적 이산 계열 표현의 분해를 SO₀(1,n) 부분군에 대해 연구하며, 리 볼 위의 가중 베르그만 공간 위의 유니터리 표현의 분해에 초점을 맞춘다. 일반화된 푸리에 변환을 통한 명시적 상호연결 연산자 수립, 플랑커렐 공식 및 역공식 유도, 분해 내 이산 표현과 최소 표현의 명시적 실현 구축을 통해 플랑커렐 측도가 특정 초함수 다항식의 수직성 측도임을 규명한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the analytic continuation of the weighted Bergman spaces on the Lie ball $$\mathscr{D}=SO(2,n)/S(O(2) imes O(n))$$ and the corresponding holomorphic unitary (projective) representations of SO(2,n) on these spaces. These representations are known to be irreducible. Our aim is to decompose them under the subgroup SO(1,n) which acts as the isometry group of a totally real submanifold $\mathscr{X}$ of $\mathscr{D}$. We give a proof of a general decomposition theorem for certain unitary representations of semisimple Lie groups. In the particular case we are concerned with, we find an explicit formula for the Plancherel measure of the decomposition as the orthogonalising measure for certain hypergeometric polynomials. Moreover, we construct an explicit generalised Fourier transform that plays the role of the intertwining operator for the decomposition. We prove an inversion formula and a Plancherel formula for this transform. Finally we construct explicit realisations of the discrete part appearing in the decomposition and also for the minimal representation in this family.

연구 동기 및 목표

• SO(2,n)의 스칼라 해석적 이산 계열 표현의 제약을 SO₀(1,n) 부분군에 대해 분해 규칙을 규명하는 것.
• 분해에 대한 플랑커렐 측도를 규명하고, 초함수 다항식의 수직성 측도와의 연관성을 밝혀내는 것.
• 직접적인 상호연결 연산자 실현을 통해 분해를 명시적으로 구성하는 것, 일반화된 푸리에 변환 형태로 제시하는 것.
• 사용된 일반화된 푸리에 변환에 대한 역공식 및 플랑커렐 공식을 도출하는 것.
• 분해 내 이산 부분과 최소 표현을 함수 공간 내에서 명시적으로 실현하는 것.

제안 방법

• 리 볼 D = SO(2,n)/S(O(2)×O(n)) 위의 가중 베르그만 공간을 해석적 계속을 통해 유니터리 표현을 연구하는 것.
• SO₀(1,n)의 작용을 D 내의 완전 실수 부분다양체 X ⊂ D의 등장변환군으로 간주하여 제약 문제를 유도하는 것.
• 표현 공간과 분해 성분 간의 상호연결 연산자로서 일반화된 푸리에 변환을 구성하는 것.
• 핵 함수로부터 유도된 초함수 다항식의 가족에 대한 수직성 측도로 플랑커렐 측도를 식별함으로써 측도를 도출하는 것.
• 핵 Kν(z,ζ)의 적분 표현 및 멱급수 전개를 활용하여 상호연결 연산자의 작용을 분석하는 것.
• 단위 디스크 위의 가중 베르그만 공간의 재생 성질을 이용하여 행렬 계수를 계산하고 유니터리성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SO(2,n)의 해석적 이산 계열 표현은 부분군 SO₀(1,n) 하에서 어떻게 분해되는가?
• RQ2 분해에서의 명시적 플랑커렐 측도는 무엇이며, 특수함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 분해의 기저 성분으로 분해를 실현하는 직접적인 상호연결 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 분해에 사용된 일반화된 푸리에 변환에 대한 역공식 및 플랑커렐 공식은 무엇인가?
• RQ5 월라흐 집합 내 이산 부분과 최소 표현은 함수 공간 내에서 어떻게 명시적으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 분해 분해의 플랑커렐 측도는 초함수 다항식의 가족에 대한 수직성 측도로 규명된다.
• 표현 공간과 직접 적분 분해 간의 유니터리 상호연결 연산자로서 명시적 일반화된 푸리에 변환이 구성된다.
• 일반화된 푸리에 변환에 대해 역공식 및 플랑커렐 공식이 확립되어, 그 유니터리 동치성의 확인이 이루어진다.
• 상호연결 연산자 T_{(n-2)/2}가 유니터리임을 증명하며, 유한한 구면 조화 다항식의 선형 조합의 완비화를 최소 표현의 해석적 포크 공간으로 사상하는 것으로 나타난다.
• H = SO₀(1,n)의 최소 표현 π_{(n-2)/2}는 보완 급수 표현으로 실현되며, 그가 기약임을 증명한다.
• T_{(n-2)/2}에 의해 사상된 구면 조화 다항식의 노름을 명시적으로 계산하여 상수 C_m = (n-2)/(2π²)를 도출함으로써 등거리 확장을 확인한다.