[논문 리뷰] Branching processes with pairwise interactions

Gabriel Berzunza Ojeda, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 개인이 출생, 사망, 협력, 경쟁 사건을 경험하는 쌍별 상호작용을 고려한 분할 과정(BPI-과정)을 소개한다. 모멘트 이중성과 라멘티르 유형의 시간 변화를 사용하여 폭발, 멸종, 무한대에서의 감소, 정적 상태에 대한 적분 테스트를 유도하며, 과정이 정적 분포를 가지거나 0과 1에서 정규 경계 행동을 보이는 조건을 규명한다.

ABSTRACT

In this manuscript, we are interested in the long-term behaviour of branching processes with pairwise interactions (BPI-processes). A process in this class behaves as a pure branching process with the difference that competition and cooperation events between pairs of individuals are also allowed. Here, we provide a series of integral tests that explain how competition and cooperation regulate the long-term behaviour of BPI-processes. In particular, such integral tests describe the events of explosion and extinction and provide conditions under which the process comes down from infinity. Moreover, we also determine whether the process admits, or not, a stationary distribution. Our arguments use a random time change representation in terms of a modified branching process with immigration and moment duality. The moment dual of BPI-processes turns out to be a family of diffusions taking values on $[0,1]$ which are interesting in their own right and that we introduce as generalised Wright-Fisher diffusions.

연구 동기 및 목표

• 표준 순수 분할 과정을 초월하여 쌍별 협력 및 경쟁 사건을 포함하는 분할 과정의 장기적 행동을 분석하기 위해.
• 이러한 과정이 폭발하거나 멸종하거나 무한대에서 감소하는 조건을 규명하기 위해.
• BPI-과정이 정적 분포를 가지는지 조사하기 위해.
• 일반화된 라이트-파이저 확산으로서의 모멘트 이중 과정을 수립하여 이중 역학에 대한 새로운 통찰을 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 BPI-과정을 이민이 있는 수정된 분할 과정과 연결하기 위해 무작위 시간 변화 표현을 사용한다.
• 모멘트 이중성을 적용하여 BPI-과정을 [0,1] 상의 확산 가족, 즉 일반화된 라이트-파이저 확산으로 연결한다.
• BPI-과정의 무한소 생성자는 인구 규모 비례율(자연적 출생/사망)과 그 제곱 비례율(협력/경쟁)로 정의된다.
• 상호작용 메커니즘 $\Phi_{c,b}(u)$와 분열 메커니즘 $\Psi_{d,\rho}(u)$를 바탕으로 한 적분 테스트를 유도하여 0과 1에서의 경계 행동을 분류한다.
• 라멘티르 변환을 사용하여 BPI-과정을 시간 변화된 과정과 연결함으로써 폭발과 멸종의 분석을 가능하게 한다.
• 펠러의 척도 측도 및 속도 측도 기준을 적용하여 $\Phi_{c,b}$와 $\Psi_{d,\rho}$를 포함하는 적분의 수렴 여부에 기반해 0과 1에서의 경계 행동을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BPI-과정이 유한 시간 내에 폭발하는 조건은 무엇이며, 상호작용 메커니즘이 이에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 BPI-과정이 거의 확실히 멸종하는 조건은 무엇이며, 협력과 경쟁은 멸종 확률에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 과정이 무한대에서 감소하는 조건은 무엇이며, 상호작용 메커니즘이 이 행동에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 BPI-과정이 정적 분포를 가지는가? 그 존재를 규정하는 적분 조건은 무엇인가?
• RQ5 0에서의 경계 행동(흡수, 반사, 입구, 출구)은 $c$, $d$, $b$의 매개변수에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 과정은 유일하게 $\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx = \infty$ 이면 폭발하며, 이는 $\Phi_{c,b}$가 0 근처에서의 행동에 의존한다.
• 멸종은 $\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx < \infty$ 이면 거의 확실히 발생하며, 이 조건은 상호작용 메커니즘의 적분 가능성과 관련된다.
• 과정이 무한대에서 감소하려면 $\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx < \infty$ 이고 $\int_0^1 \frac{\Psi_{d,\rho}(x)}{x \Phi_{c,b}(x)} \, dx = \infty$ 이어야 하며, 이는 무한한 인구에서 유한한 인구로의 도달을 보장한다.
• 정적 분포가 존재하는 것은 유일하게 $\int_0^1 \frac{\Psi_{d,\rho}(x)}{x \Phi_{c,b}(x)} \, dx < \infty$ 이면 가능하며, 이는 분열과 상호작용 메커니즘 간의 균형에 따라 달라진다.
• 0에서의 경계가 정규 반사 경계인 경우 $d > 0$ 이고 $\Phi_{c,b}$가 0에서 멀리 떨어져 있을 때이며, $d > c$ 이면 입구 경계가 되며, $d = 0$ 이면 출구 경계가 된다. 이는 자연적 사망과 경쟁의 상대 강도에 따라 달라진다.
• $d = c$ 이면, $\mathcal{S}_{c,\rho}^{c,b}(\theta;0) = -\infty$ 이면 0에서의 경계가 입구 경계가 되고, 그렇지 않으면 정규 경계가 된다. 정규 반사 성격은 이중 과정을 통해 확인된다.