[논문 리뷰] Branching random walk with a random environment in time

Chunmao Huang, Quansheng Liu|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 29.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 34인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 랜덤 환경에서의 분기 랜덤 워크를 연구하며, 입자 위치의 경험적 측도에 대해 대 deviations 원리, 중심극한정리 및 국소극한정리, 그리고 극단적 위치(오른쪽 끝과 왼쪽 끝 입자)에 대한 대수법칙을 확립한다. 주요 기여는 초임가성 및 에르고딕성 조건 하에서 정규화된 극단적 위치의 거의확실 수렴이 명시적인 결정론적 극한으로 이루어진다는 것이다.

ABSTRACT

We consider a branching random walk on $\mathbb{R}$ with a stationary and ergodic environment $ξ=(ξ_n)$ indexed by time $n\in\mathbb{N}$. Let $Z_n$ be the counting measure of particles of generation $n$. For the case where the corresponding branching process $\{Z_n(\mathbb{R})\}$ $ (n\in\mathbb{N})$ is supercritical, we establish large deviation principles, central limit theorems and a local limit theorem for the sequence of counting measures $\{Z_n\}$, and prove that the position $R_n$ (resp. $L_n$) of rightmost (resp. leftmost) particles of generation $n$ satisfies a law of large numbers.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 동일한 랜덤 환경에서의 수량 측도 $ Z_n $ 의 渐近적 행동을 분석하기 위해.
• 완화된 법칙과 안도된 법칙 하에서 스케일된 경험적 측도 $ Z_n(n\bullet) $ 에 대해 대 deviations 원리를 확립하기 위해.
• 정규화된 경험적 측도 $ \mathbb{E}_\xi[Z_n(\bullet)/Z_n(\mathbb{R})] $ 와 그 안도된 대응체에 대해 중심극한정리 및 국소극한정리를 유도하기 위해.
• 오른쪽 끝과 왼쪽 끝 입자 위치인 $ R_n $ 과 $ L_n $ 에 대해 대수법칙을 증명하여, 정규화된 위치가 명시적인 극한으로 거의확실하게 수렴함을 보여주기 위해.
• 독립 동일분포 환경에서의 고전 결과를 정적이고 에르고딕한 시간에 따라 변하는 환경의 경우로 확장하기 위해.

제안 방법

• 자기의 자유 에너지 $ \frac{1}{n}\log \tilde{Z}_n(t) $ 가 명시적인 극한으로 수렴함을 이용하여, Gärtner-Ellis 정리를 적용하여 완화된 평균 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ 에 대해 대 deviations 원리를 도출하기 위해.
• 모든 입자가 생존할 확률이 0이 아니라는 조건을 위해 $ Z_n(\mathbb{R})/P_n $ 이 $ W $ 로 수렴하는 마팅게일 수렴을 사용하며, 여기서 $ P_n = \prod_{i=0}^{n-1} m_i $ 이고, 비퇴화 조건으로 $ \mathbb{E}\log m_0 > 0 $ 과 $ \mathbb{E}\frac{N}{m_0}\log^+ N < \infty $ 을 가정한다.
• 완화된 중심극한정리를 증명하기 위해 $ \mathbb{E}_\xi[Z_n(-\infty, b_n x + a_n]/Z_n(\mathbb{R}) \mid Z_n(\mathbb{R})>0] \to \Phi(x) $ 거의확실하게 수렴함을 보이며, 여기서 $ a_n = \sum_{i=0}^{n-1} \mu_i $, $ b_n = (\sum_{i=0}^{n-1} \sigma_i^2)^{1/2} $ 이다.
• 생존 조건부에서 안도된 중심극한정리를 증명하기 위해, 지배 수렴 정리를 사용하여 완화된 극한과 안도된 극한의 차이를 제어한다.
• 극단적 위치 $ R_n $ 과 $ L_n $ 을 분석하기 위해 $ \frac{1}{n} \log \tilde{Z}_n(t) $ 의 수렴성과 모멘트 생성 함수의 渐近적 행동을 이용한다.
• 완화된 평균 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ 가 대 deviations 원리를 만족하고, $ \tilde{Z}_n(t) $ 가 환경의 리아푸노프 지수에 의해 결정되는 비율로 지수적으로 증가함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 랜덤 환경에서의 분기 랜덤 워크에서 경험적 측도 $ Z_n(n\bullet) $ 는 대 deviations 원리를 만족하는가?
• RQ2 정규화된 오른쪽 끝과 왼쪽 끝 입자 위치는 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ3 완화된 및 안도된 입자 위치 분포에 대해 중심극한정리가 성립하는가? 그리고 그 스케일링 극한은 무엇인가?
• RQ4 정규화된 $ R_n/n $ 과 $ L_n/n $ 의 거의확실한 극한은 무엇이며, 이는 환경에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 독립 동일분포 환경에서의 고전 결과를 정적이고 에르고딕한 시간에 따라 변하는 환경의 경우로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 완화된 법칙 하에서 $ \{Z_n(n\bullet)\} $ 이 대 deviations 원리를 만족하며, 이는 Gärtner-Ellis 정리를 통해 유도된 비용 함수를 가진다.
• 자유 에너지 $ \frac{1}{n}\log \tilde{Z}_n(t) $ 는 거의확실하게 환경의 모멘트 생성 함수에 의존하는 명시적인 극한으로 수렴한다.
• 정규화된 오른쪽 끝과 왼쪽 끝 입자 위치는 대수법칙을 만족한다: $ \frac{R_n}{n} \to \rho $ 와 $ \frac{L_n}{n} \to \ell $ 거의확실하게 수렴하며, 여기서 $ \rho $ 와 $ \ell $ 는 환경의 모멘트 생성 함수에 의해 명시적으로 결정된다.
• 완화된 및 안도된 입자 위치 분포는 중심극한정리를 만족한다: $ \mathbb{E}_\xi[Z_n(-\infty, b_n x + a_n]/Z_n(\mathbb{R}) \mid Z_n(\mathbb{R})>0] \to \Phi(x) $ 거의확실하게 수렴하며, 안도된 경우는 표준 정규 누적분포함수로 수렴한다.
• 적절한 비격자 조건과 모멘트 조건 하에서 국소극한정리가 성립하여, 중심화 및 스케일링 후 입자 위치의 밀도가 가우시안 밀도로 수렴함을 보장한다.
• 대 deviations 결과를 위해 완화된 평균 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ 가 결정론적 극한으로 수렴하는 것이 핵심이며, 조건 $ \mathbb{E}\frac{N}{m_0}\log^+ N < \infty $ 는 마팅게일 $ W $ 의 비퇴화성을 보장한다.