[논문 리뷰] Breaking Generator Symmetry

George Katsirelos, Nina Narodytska외 1명|ArXiv.org|2009. 09. 28.

Constraint Satisfaction and Optimization참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 제약 충족 문제에서 대칭성 해소의 계산 복잡도를 조사하며, 행렬 모델에서의 행 및 열 대칭성에 초점을 맞춘다. 생성자 대칭성 해소는 다항시간으로 처리 가능하지만, 행과 열 양쪽에 대해 사전순서를 통한 모든 대칭 값의 제거는 NP-난이도임을 증명하며, CSP의 글로벌 제약 전파 분야에서 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Dealing with large numbers of symmetries is often problematic. One solution is to focus on just symmetries that generate the symmetry group. Whilst there are special cases where breaking just the symmetries in a generating set is complete, there are also cases where no irredundant generating set eliminates all symmetry. However, focusing on just generators improves tractability. We prove that it is polynomial in the size of the generating set to eliminate all symmetric solutions, but NP-hard to prune all symmetric values. Our proof considers row and column symmetry, a common type of symmetry in matrix models where breaking just generator symmetries is very effective. We show that propagating a conjunction of lexicographical ordering constraints on the rows and columns of a matrix of decision variables is NP-hard.

연구 동기 및 목표

• 제약 충족 문제에서 생성자 대칭성만 해소하는 것과 모든 대칭성을 해소하는 것의 완전성과 다항시간 처리 가능성 분석
• 실제로 생성자 대칭성을 해소하는 것이 모든 대칭적 해를 제거하는 데 충분한가에 대한 탐구
• 생성자 대칭성 해소 이후 모든 대칭적 값을 제거하는 데 필요한 계산 복잡도 규명
• 행과 열 양쪽에 대해 사전순서 제약을 동시에 적용하는 것의 처리 가능성 여부를 해결하는 데 목표
• 행렬 모델에서 다항시간 대칭성 해소와 비처리 가능한 값 제거 사이의 이론적 경계 설정

제안 방법

• CSP에서 흔한 대칭성 유형인 행렬 모델의 행 및 열 대칭성에 초점을 맞춘다.
• 1-in-3 SAT 문제에서의 감소를 통해 사전순서 제약이 논리적 제약을 표현하는 행렬 모델을 구성한다.
• 세 가지 유형의 기능 블록을 사용: 유형 1은 변수를 위한 것이며, 유형 2는 절을 위한 것이며, 헤더는 구성 요소를 분리하고 간섭을 방지하기 위한 것이다.
• 행과 열 양쪽에 동시에 사전순서를 유지하는 DoubleLex 제약을 구성한다.
• DoubleLex 제약의 해가 존재하는 것은 원래의 1-in-3 SAT 공식이 만족 가능할 때이고, 그 때에만 성립함을 보여준다.
• 1-in-3 SAT 문제에서 다항시간 감소를 통해 DoubleLex 제약에 대해 도메인 일관성을 강제하는 것이 NP-난이도임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자 대칭성만 해소하는 것이 모든 경우에서 모든 대칭적 해를 제거하는 데 충분한가?
• RQ2 생성자 대칭성을 해소하는 제약 조건을 설정하는 과정이 모든 대칭성을 해소하는 것보다 다항시간 처리 가능성이 있는가?
• RQ3 생성자 대칭성 해소 이후 모든 대칭적 값을 제거하는 것은 계산적으로 다항시간 처리 가능한가?
• RQ4 행렬 모델의 행과 열 양쪽에 대해 사전순서 제약의 결합을 강제하는 것은 처리 가능한가?
• RQ5 DoubleLex 제약는 1-in-3 SAT를 모델링하는 데 사용될 수 있으며, 그 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 생성자 대칭성 해소는 다항시간 처리 가능하므로 대칭성 감소에 효율적인 방법이다.
• 생성자 대칭성만 해소해도 모든 대칭적 해를 제거하지 못하는 문제들이 존재하나, 완전한 대칭성 해소 집합이 존재한다.
• 생성자 대칭성 해소 이후 모든 대칭적 값을 제거하는 것은, 대칭성 해소 제약 자체가 다항시간 처리 가능하더라도 NP-난이도이다.
• DoubleLex 제약에 대해 도메인 일관성을 강제하는 것—즉, 행과 열 양쪽에 대해 사전순서를 적용하는 것—은 NP-난이도이다.
• 유형 1 및 유형 2 기능 블록을 사용한 행렬 모델의 구성은 원래의 1-in-3 SAT 공식이 만족 가능할 때에만 해가 존재함을 증명한다.
• 이로써 Frisch 등(2002)이 제기한 행렬 양변에 대해 사전순서 제약을 위한 글로벌 제약의 복잡도에 관한 열린 문제를 해결한다.