[논문 리뷰] Breather to the Yajima-Oikawa system

Junchao Chen, Yong Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 04.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 KP 계층 구조 감소와 이중형 방법을 사용하여 일차원 및 이차원 얀마-오키와(Yajima-Oikawa, YO) 시스템의 브리더 해를 구축한다. 복소수 켤레 변환 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $를 통해 두 가지 유형의 브리더를 식별하였으며, 이는 동형 궤도와 다크 솔리톤을 특수한 경우로 포함한다. 또한 장파장 근사법을 통해 유리형 및 유리지수형 해—특히 럼프, 선형 유랑파, 혼합 구조—를 도출한다.

ABSTRACT

The Yajima-Oikawa (YO) system describes the resonant interaction between long and short waves under certain condition. In this paper, through the KP hierarchy reduction, we construct the breather solutions for the YO system in one- and two-dimensional cases. Similar to Akhmediev and Kuznetsov-Ma breather solutions (the wavenumber k_i->ik_i) for the nonlinear Schrodinger equation, is shown that the YO system have two kinds ofbreather solutions with the relations p_{2k-1}->ip_{2k-1}, p_{2k}->-ip_{2k}, q_{2k-1}->iq_{2k-1} and q_{2k}->-iq_{2k}, in which the homoclinic orbit and dark soliton solutions are two special cases respectively. Furthermore, taking the long wave limit, we derive the rational and rational and rational-exp solutions which contain lump, line rogue wave, soliton and their mixed cases. By considering the further reduction, such solutions can be reduced to one-dimensional YO system.

연구 동기 및 목표

• 고도화된 적분 가능 체계 기법을 사용하여 일차원 및 이차원 얀마-오키와(Yajima-Oikawa, YO) 시스템의 브리더 해를 유도하는 것.
• 복소 스펙트럼 매개변수 변환을 통해 YO 시스템의 브리더와 아크메디에프/Kuznetsov-Ma 유형 간의 대응 관계를 수립하는 것.
• 장파장 근사 감소를 통해 유리형 및 유리지수형 해를 도출하고, 이에 포함된 럼프 및 유랑파 구조를 탐색하는 것.
• 일차원 및 이차원 YO 시스템에서 럼프-솔리톤 및 유랑파-솔리톤 상태와 같은 혼합 해의 발생과 진화를 설명하는 것.

제안 방법

• 의존 변수 변환을 사용하여 YO 시스템을 이중형 형태로 변환하기 위해 히로타의 이중형 방법을 활용한다.
• 특히 브리더 및 유리형 해에 중점을 두고, KP 계층 구조 감소 기법을 적용하여 정확한 해를 생성한다.
• 두 가지 다른 브리더 가족을 생성하기 위해 복소 스펙트럼 매개변수 치환 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $, $ q_{2k-1} \to i q_{2k-1}, q_{2k} \to -i q_{2k} $을 적용한다.
• 브리더 해에 대한 장파장 근사 분석을 수행하여, 럼프 및 선형 유랑파 구조를 포함한 유리형 및 유리지수형 해를 도출한다.
• 복소수 위상 매개변수를 가진 $ f $, $ g $, 및 $ g^* $ 함수를 사용하여 일차원 및 이차원 YO 시스템의 명시적 그램 행렬식 해를 유도한다.
• 수치적 시각화를 통해 해를 검증하였으며, 이는 럼프-유랑파 및 솔리톤-유랑파 상호작용을 포함한 혼합 상태를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 KP 계층 구조 감소를 통해 일차원 및 이차원 얀마-오키와 시스템의 브리더 해를 체계적으로 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ2 어떤 스펙트럼 변환을 통해 YO 시스템에서 두 가지 다른 브리더 유형이 생성되며, 이는 동형 궤도 및 다크 솔리톤과 같은 기존 해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 YO 시스템의 브리더 해에서 장파장 근사를 통해 어떤 유리형 및 유리지수형 해가 도출되는가?
• RQ4 람프, 유랑파, 솔리톤을 조합한 혼합 해는 YO 시스템에서 어떻게 발생하고 진화하는가?
• RQ5 2차원 YO 시스템의 해는 일차원 경우로 감소시킬 수 있으며, 어떤 구조적 특성이 유지되는가?

주요 결과

• 복소수 스펙트럼 매개변수 변환 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $, $ q_{2k-1} \to i q_{2k-1}, q_{2k} \to -i q_{2k} $를 통해 YO 시스템에 대해 두 가지 다른 브리더 해를 도출하였으며, 이는 아크메디에프 및 쿠즈네츠프-마 유형을 일반화한다.
• 특정 매개변수 극한 조건에서 동형 궤도 및 다크 솔리톤 해가 유도된 브리더 해의 특수한 경우로 나타남을 입증하였다.
• 브리더 해의 장파장 근사를 통해 럼프, 선형 유랑파, 솔리톤 구조를 포함한 유리형 및 유리지수형 해를 도출하였다.
• 2차원 YO 시스템에서 하나의 럼프(또는 유랑파)와 하나의 일반 브리더(또는 솔리톤)가 조합된 혼합 해가 명시적으로 구성되고 시각화되었다.
• 2차원 해에서 추가 감소를 통해 일차원 YO 시스템이 복원되었으며, 이 과정에서 유랑파-솔리톤 및 럼프-유랑파 혼합 구조와 같은 주요 해 유형이 유지되었다.
• 수치적 예시(Fig. 21–25)는 혼합 상태의 존재성과 역학을 확인하였으며, 특정 매개변수 조합에서 일차원 YO 시스템에서의 유랑파-솔리톤 쌍의 존재를 입증하였다.