[논문 리뷰] Bridging Classical and Quantum with SDP initialized warm-starts for QAOA

Reuben Tate, Majid Farhadi외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)의 변종인 QAOA-warm을 제안한다. 이는 낮은 회로 깊이에서 성능을 향상시키기 위해 고전적 정수형 프로그래밍(SDP) 근사 해를 온전한 초기화 상태로 사용한다. 낮은 질서의 SDP 해를 초기 상태로 사용함으로써, 표준 QAOA에 비해 유의미하게 높은 근사 비율을 달성하며, 깊이 p=1에서 최대 80% 향상된 해 품질을 기록한다. 또한 질서 3 초기화 상태에 대해 최소 0.66κ의 근사 비율을 보장하는 이론적 보장을 제공한다.

ABSTRACT

We study the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) in the context of the Max-Cut problem. Near-term (noisy) quantum devices are only able to (accurately) execute QAOA at low circuit depths while QAOA requires a relatively high circuit-depth in order to "see" the whole graph. We introduce a classical pre-processing step that initializes QAOA with a biased superposition of all possible cuts in the graph, referred to as a warm-start. In particular, our initialization informs QAOA by a solution to a low-rank semidefinite programming relaxation of the Max-Cut problem. Our experimental results show that this variant of QAOA, called QAOA-Warm, is able to outperform standard QAOA on lower circuit depths with less training time (in the optimization stage for QAOA's variational parameters). We provide experimental evidence as well as theoretical intuition on performance of the proposed framework.

연구 동기 및 목표

• 노이즈와 제한된 얽힘 생성으로 인해 표준 QAOA가 낮은 회로 깊이에서 성능이 떨어지는 문제를 해결한다.
• 근접한 양자 하드웨어에서 Max-Cut 문제에 대해 QAOA의 해 품질과 학습 효율성을 향상시킨다.
• 고전적 사전 처리를 통해 낮은 질서의 SDP 근사 해가 양자 변동 최적화를 향상시킬 수 있는지 탐색한다.
• 특히 p=0 및 p=1에서 낮은 깊이에서 QAOA-warm의 근사 비율에 대한 이론적 보장을 제공한다.
• 온전한 초기화 상태가 QAOA의 에너지 구조와 최적화 역학에 미치는 영향을 조사한다.

제안 방법

• Max-Cut 문제의 Burer-Monteiro 낮은 질서의 SDP 근사 해를 사용하여 고전적 낮은 질서의 해(질서 2 또는 3)를 온전한 초기화 상태로 계산한다.
• SDP 해를 분리 가능한 양자 상태로 매핑하여 QAOA의 초기 상태로 사용하며, 표준 |+⟩^⊗n 초기화를 대체한다.
• 온전한 초기화 상태에 대해 표준 QAOA 믹서(횡방향 자기장 해밀토니안)를 적용하고, 고전적 최적화를 통해 변동 매개변수 γ와 β를 최적화한다.
• 1,264개의 Max-Cut 인스턴스(최대 12개 노드)에 대해 수치 시뮬레이션을 수행하여 깊이 p=1, 2, 4, 8에서 QAOA-warm과 표준 QAOA를 비교한다.
• QAOA-warm의 에너지 구조와 매개변수 민감도를 분석하여, 최적화를 촉진할 수 있는 산기형 구조가 존재함을 보여준다.
• 이론적 경계를 증명한다: QAOA-warm은 질서 2 초기화 상태일 경우 최소 0.75κ, 질서 3 초기화 상태일 경우 최소 0.66κ의 근사 비율을 확보한다. 여기서 κ는 SDP 근사 요소이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 SDP 해가 낮은 회로 깊이에서 QAOA 성능 향상에 효과적인 온전한 초기화 상태로 기능할 수 있는가?
• RQ2 QAOA 회로 자체가 고전적 샘플링을 초과해 온전한 초기화 상태에서 얼마나 향상되는가?
• RQ3 QAOA-warm의 에너지 구조는 표준 QAOA와 어떻게 다를까? 이는 더 효율적인 최적화를 가능하게 하는가?
• RQ4 특히 p=0에서 QAOA-warm에 대해 어떤 이론적 근사 보장을 설정할 수 있는가?
• RQ5 QAOA-warm은 노이즈에 강건하고 초깃값에 민감한가? 수렴 속도와 해 품질 측면에서 표준 QAOA와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• p=1에서 96.8%의 인스턴스에서 QAOA-warm이 표준 QAOA보다 해 품질이 뛰어나며, p=2에서는 90.0%, p=4에서는 72.8%, p=8에서는 53.6%의 인스턴스에서 뛰어나다.
• p=1에서 QAOA-warm은 74개 인스턴스에서 온전한 초기화 상태보다 최소 50% 향상된 근사 비율을 기록했으며, 22개 인스턴스에서는 최소 80% 향상된 결과를 얻었다.
• 질서 3 초기화 상태일 경우, QAOA-warm은 p=0에서 최소 0.66κ의 근사 비율을 보장한다. 여기서 κ는 SDP 해의 근사 요소이다.
• p=1에서 QAOA-warm의 에너지 구조는 산기형 구조를 보이며, 이는 변동 매개변수 최적화를 더 효율적으로 할 수 있도록 도와줄 수 있다.
• QAOA-warm은 고전적 해에 가까운 초기 상태에서 시작함으로써 (β, γ) 값의 민감도를 감소시켜, 유리한 경우 비용 해밀토니안에서 최적화를 효과적으로 분리한다.
• 낮은 깊이에서의 향상에도 불구하고, QAOA-warm은 높은 깊이에서 최적 해에 수렴하지 못함을 보여주며, 추가 수정 없이선 확장성에 한계가 있음을 시사한다.