[논문 리뷰] Broad Band Solitons in a Periodic and Nonlinear Maxwell System

Dmitry E. Pelinovsky, Gideon Simpson외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 18.

Advanced Fiber Laser Technologies참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반도체 격자와 비선형성의 조합으로 구성된 1차원 주기적 및 비선형 맥스웰 시스템에서, 딜라 함수로 구성된 굴절률을 가진 넓은 밴드 솔리톤을 연구한다. 점근적, 분석적, 수치적 방법을 통해 분기 이론과 수치 연속 기법을 활용해, 밴드 에지 근처에서 소규모 진폭의 공간적으로 국소화된 갭 솔리톤의 존재를 입증하고, 잘라낸 시스템에서의 안정성과 장시간 동역학에서의 NLS 근사의 타당성을 검증한다.

ABSTRACT

We consider the one-dimensional Maxwell equations with low contrast periodic linear refractive index and weak Kerr nonlinearity. In this context, wave packet initial conditions with a single carrier frequency excite infinitely many resonances. On large but finite time-scales, the coupled evolution of backward and forward waves is governed by nonlocal equations of resonant nonlinear geometrical optics. For the special class of solutions which are periodic in the fast phase, these equations are equivalent to an infinite system of nonlinear coupled mode equations, the so called it extended nonlinear coupled mode equations, xNLCME. Numerical studies support the existence of long-lived spatially localized coherent structures, featuring a slowly varying envelope and a train of carrier shocks. In this paper we explore, by analytical, asymptotic and numerical methods, the existence and properties of spatially localized structures of the xNLCME system, which arises for a refractive index profile consisting of periodic array of Dirac delta functions. We consider the limit of small amplitude solutions with frequencies near a band-edge. In this case, stationary xNLCME is well-approximated by an infinite system of coupled, stationary, nonlinear Schrödinger equations, the extended nonlinear Schrödinger system, xNLS. We embed xNLS in a one-parameter family of equations, xNLS$^ε$, which interpolates between infinitely many decoupled NLS equations ($ε=0$) and xNLS ($ε=1$). Using bifurcation methods we show existence of solutions for a range of $ε\in(-ε_0,ε_0)$ and, by a numerical continuation method, establish the continuation of certain branches all the way to $ε=1$. Finally, we perform time-dependent simulations of truncated xNLCME and find the small-amplitude solitons to be robust to both numerical errors and the NLS approximation.

연구 동기 및 목표

• 주기적 비선형 맥스웰 시스템에서 유도된 확장된 비선형 결합 모드 방정식(xNLCME)에서 공간적으로 국소화된 일관된 구조의 존재를 조사한다.
• xNLCME를 소규모 진폭 해의 극한, 특히 밴드 에지 근처에서 다루며, 이 경우 xNLCME는 무한한 수의 결합된 비선형 슈뢰딩거 방정식(xNLS)로 근사된다.
• 비결합된 NLS 방정식(ϵ=0)과 완전히 결합된 NLS 방정식(ϵ=1) 사이를 연결하는 일파람의 매개변수 가중치를 가진 일련의 방정식을 도입하여, 해의 분기 현상을 연구한다.
• 분기 이론을 적용하여 ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀) 범위에서 비자명한 해의 존재를 증명하고, 수치 연속 기법을 사용해 해의 분기를 ϵ=1까지 연장한다.
• 가상 스펙트럼 공간 이산화와 RK4 시간 스텝을 사용한 시간에 의존하는 시뮬레이션을 통해 잘라낸 xNLCME 시스템에서 솔리톤의 안정성을 평가한다.
• 단일 매개변수 및 가우시안 형태의 레일리-리츠 변분 근사법을 도입하여 임계점 존재 가능성과 해의 구조를 검증한다.

제안 방법

• 다중 척도 점근적 분석을 통해 낮은 대비도를 가지는 주기적 굴절률과 약한 킬러 비선형성을 갖는 맥스웰 방정식에서 확장된 비선형 결합 모드 방정식(xNLCME)을 유도한다.
• 소규모 진폭 및 밴드 에지 근처의 극한에서 xNLCME를 무한한 수의 정적 비선형 슈뢰딩거 방정식(xNLS)의 시스템으로 근사한다.
• 비결합된 NLS(ϵ=0)와 xNLS(ϵ=1) 사이를 연결하는 일파람의 매개변수 가중치를 가진 방정식 가중치 가중치 xNLSϵ을 도입하여 해의 분기 현상을 연구한다.
• 분기 이론을 적용하여 ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀) 범위에서 비자명한 해의 존재를 증명하고, 수치 연속 기법을 사용해 해의 분기를 ϵ=1까지 연장한다.
• 가상 스펙트럼 공간 이산화와 RK4 시간 스텝을 사용한 시간에 의존하는 시뮬레이션을 통해 잘라낸 xNLCME 시스템에서 솔리톤의 안정성을 평가한다.
• 단일 매개변수 및 가우시안 형태의 레일리-리츠 변분 근사법을 도입하여 임계점 존재 가능성과 해의 구조를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적인 델타 함수 굴절률을 갖는 확장된 비선형 결합 모드 방정식(xNLCME)에서 비자명한, 공간적으로 국소화된 해가 존재하는가?
• RQ2 결합 매개변수의 범위에서, xNLS 시스템에서 국소화된 해의 존재성을 분기 방법으로 입증할 수 있는가?
• RQ3 잘라낸 xNLCME 시스템에서 시간에 따라 변화하는 상황에서 소규모 진폭의 밴드 에지 근처 갭 솔리톤은 얼마나 안정적인가?
• RQ4 비선형 슈뢰딩거(NLS) 근사는 이러한 국소화된 구조의 동역학을 어느 정도 정확하게 기술하는가?
• RQ5 해의 존재를 위한 적절한 함수 공간은 무엇이며, xNLCME의 유한한 잘라낸 시스템에서 존재성은 임의의 크기의 유한한 잘라냄에서도 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 소규모 진폭 및 밴드 에지 근처에서 xNLCME 시스템에서 비자명한 국소화된 해가 존재하며, ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀) 범위에서 분기 분석을 통해 확인되었다.
• 수치 연속 기법을 통해 해의 분기를 ϵ≈0에서 ϵ=1까지 성공적으로 연장하여, 완전히 결합된 극한에서의 국소화된 구조의 지속성을 확인하였다.
• 잘라낸 xNLCME 시스템에서의 시간에 의존하는 시뮬레이션 결과, 소규모 진폭의 밴드 에지 근처 갭 솔리톤이 국소화 상태를 유지하고 수치 오차 및 잘라냄 효과에 대해 강건함을 보였다.
• NLS 근사는 이러한 솔리톤의 동역학을 정확하게 기술하며, μ→0(낮은 비선형성)일수록 더 높은 일치도를 보였다.
• 가우시안 및 단일 매개변수 레일리-리츠 근사법을 통해 임계점 존재 가능성은 제안되었지만, 엄밀한 존재성 증명은 아직 열려 있다.
• 다양한 잘라냄(2모드, 4모드)과 도메인 크기에서 안정성이 관찰되었으며, 낮은 비선형성(μ=0.1)에서는 최소한의 왜곡이 발생했고, 높은 비선형성(μ=0.4)에서는 증가한 진동이 관찰되었다.