[논문 리뷰] Bronsted-Rockafellar property and maximality of monotone operators representable by convex functions in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|2008. 02. 13.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 17인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비반사적 바나흐 공간에서, 모든 $ (x,x^*), (x^*,x^{**}) $ 에 대해 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 와 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 만족하는 하부연속 볼록 함수 $ h: X \times X^* \to \overline{\mathbb{R}} $ 가 그 등준집합을 통해 최대 단조 연산자를 생성함을 확립한다. 주요 기여는 이러한 연산자가 엄격한 브로너-로카렐라 성질을 만족함을 증명하여 기존의 반사적 설정에서 비반사적 설정으로 결과를 확장하는 것이다.

ABSTRACT

In this work we are concerned with maximality of monotone operators representable by certain convex functions in non-reflexive Banach spaces. We also prove that these maximal monotone operators satisfy a Bronsted-Rockafellar type property. We show that if a function in XxX^* and its conjugate are above the duality product in their respective domains, then this function represents a maximal monotone operator.

연구 동기 및 목표

• 비반사적 바나흐 공간에서 볼록 함수로 표현 가능한 연산자의 최대 단조성을 위한 충분조건을 확립하는 것.
• 볼록 표현을 이용해 비반사적 설정으로 브로너-로카렐라 성질을 확장하는 것.
• X \times X^* 와 X^* \times X^{**} 에서의 쌍대곱과 관련하여 피츠제르락 함수와 그 쌍대함수를 특성화하는 것.
• 일반화된 조건 (4)가 비반사적 공간에서 최대 단조성에 충분한지 여부를 해결하는 것.

제안 방법

• 모든 $ x^{**} \in X^{**} $ 에 대해 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 를 만족하고, 그 쌍대함수 $ h^* $ 가 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 만족하는 $ X \times X^* $ 상의 볼록 함수 $ h $ 를 정의하는 것.
• 모든 $ x^{**} \in X^{**} $ 에 대해 $ h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle $ 를 만족하는 연산자 $ T = \{(x,x^*) \in X \times X^* \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ 를 구성하고, 이것이 최대 단조임을 보이는 것.
• 연산자 $ T $ 의 최소 볼록 표현으로 피츠제르락 함수 $ \varphi_T $ 를 사용하고, $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 증명하는 것.
• 엄격한 브로너-로카렐라 성질을 적용: 임의의 $ \eta > \varepsilon > 0 $ 에 대해, $ x^* \in T^\varepsilon(x) $ 이면, 오차가 통제된 $ T $ 내의 점을 수렴하는 수열이 존재함을 보이는 것.
• 하부연속성과 수렴 추론을 활용하여 $ (z,z^*) \in T $ 임을 보이고, 닫힘성과 최대성의 증명을 하는 것.
• 함수 $ h $ 의 볼록 폐쇄가 쌍대함수와 주요성질을 유지하므로, 일부 결과에서 하부연속성 조건을 제거할 수 있음을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비반사적 바나흐 공간에서 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 와 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 만족하는 조건이 최대 단조성에 충분한가?
• RQ2 비반사적 공간에서 최대 단조 연산자의 피츠제르락 함수 $ \varphi_T $ 가 모든 $ x^{**} \in X^{**} $ 에 대해 $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 만족하는가?
• RQ3 비반사적 공간에서 브로너-로카렐라 성질을 강화하여 $ \varepsilon $-확대의 근사가 $ T $ 의 그래프 내의 원소로 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 $ T = \{(x,x^*) \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ 가 일반화된 조건 (4) 하에서 최대 단조인가?
• RQ5 이러한 연산자에 대해 피츠제르락 함수의 쌍대함수가 $ X^* \times X^{**} $ 에서의 쌍대곱을 지배하는가?

주요 결과

• 함수 $ h $ 가 적절하고, 볼록하며, 하부연속이며, 모든 $ x^{**} \in X^{**} $ 에 대해 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 와 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 만족하면, 연산자 $ T = \{(x,x^*) \in X \times X^* \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ 는 최대 단조이다.
• 이러한 $ T $ 의 피츠제르락 함수 $ \varphi_T $ 는 모든 $ x^{**} \in X^{**} $ 에 대해 $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 를 만족하며, 이는 이중공간으로의 쌍대곱 지배성 확장을 의미한다.
• 최대 단조 연산자 $ T $ 는 엄격한 브로너-로카렐라 성질을 만족한다: 임의의 $ \eta > \varepsilon > 0 $ 에 대해, $ x^* \in T^\varepsilon(x) $ 이면, 모든 $ \lambda > 0 $ 에 대해 $ \|x - \bar{x}_\lambda\| < \lambda $ 와 $ \|x^* - \bar{x}^*_\lambda\| < \eta / \lambda $ 를 만족하는 $ (\bar{x}_\lambda, \bar{x}^*_\lambda) \in T $ 가 존재한다.
• 함수 $ h $ 가 하부연속이 아니어도 결과가 성립하며, $ h $ 의 볼록 폐쇄가 쌍대함수와 지배성 성질을 유지하기 때문이다.
• 수열 $ (u_k, u_k^*) \to 0 $ 이 존재하여 $ \langle u_k, u_k^* \rangle \to 0 $ 이고, $ h $ 의 하부연속성과 함께 $ (z,z^*) \in T $ 를 유도함으로써, 닫힘성과 최대성을 증명하는 데 사용된다.
• 일반화된 조건 (4)를 만족하는 함수의 집합은 비반사적 바나흐 공간에서 최대 단조 연산자를 완전히 특성화하며, 이는 기존의 반사적 설정에서의 특성화를 확장한 것이다.