[논문 리뷰] Brouwer degree, domination of manifolds, and groups presentable by products

Pierre de la Harpe|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비영도수를 갖는 연속적 사상에 의한 다양체의 지배를 조사하며, 이를 그룹-이론적 성질과 연결하기 위해 '산출 가능한 곱의 형태를 가진 군'의 개념을 도입한다. 이는 브라우어 차수와 단순체적 체적을 통한 차단 조건을 사용하여, 특히 기하학적 군론적 성질이 있는 군들—특히 기하학적으로 비가역적이고 무한하며 비아핀인 코x터 군과 특정 선형 대수적 군—이 서로 가 commutative인 무한 부분군의 곱으로 분해될 수 없음을 증명한다.

ABSTRACT

For oriented connected closed manifolds of the same dimension, there is a transitive relation: $M$ dominates $N$, or $M \ge N$, if there exists a continuous map of non-zero degree from $M$ onto $N$. Section 1 is a reminder on the notion of degree (Brouwer, Hopf), Section 2 shows examples of domination and a first set of obstructions to domination due to Hopf, and Section 3 describes obstructions in terms of Gromov's simplicial volume. In Section 4 we address the particular question of when a given manifold can (or cannot) be dominated by a product. These considerations suggest a notion for groups (fundamental groups), due to D. Kotschick and C. Löh: a group is presentable by a product if it contains two infinite commuting subgroups which generate a subgroup of finite index. The last section shows a small sample of groups which are not presentable by products; examples include appropriate Coxeter groups.

연구 동기 및 목표

• 비영도수를 갖는 연속적 사상에 의한 한 다양체가 다른 다양체를 지배할 수 있는 조건을 이해하는 것.
• 특히 단순체적 체적과 기본군의 구조와 관련하여 지배를 방해하는 위상수학적 및 기하학적 장애 요소를 조사하는 것.
• 두 개의 무한하고 서로 가 commutative인 부분군이 유한지수 부분군을 생성하는 군—즉, 산출 가능한 곱의 형태를 가진 군—가 무엇인지 특성화하는 것.
• 특히 코x터 군과 선형 대수적 군의 맥락에서 산출 가능한 곱의 형태를 갖지 않는 군의 계열을 식별하는 것.
• 단순체적 체적과 도수 이론과 같은 기하학적 불변량이 리 대수의 분해 가능성과 이상 구조와 같은 군론적 성질과 어떻게 연결되는지 연결하는 것.

제안 방법

• 같은 차원의 유향, 닫힘, 연결된 다양체 사이의 매끄러운 사상에 대해 브라우어 차수 이론을 사용한다.
• 호프의 장애 조건을 적용하여 도수의 비영과 기본류에 유도된 호모로지 사상의 비영을 통해 지배를 방해하는 원인을 분석한다.
• 그로모프의 단순체적 체적을 위상수학적 장애 요소로 활용: 단순체적 체적이 양수인 다양체는 같은 차원의 곱 다양체에 의해 지배될 수 없다.
• 선형 대수적 군의 리 대수의 구조를 분석하여, 서로 가 commutative인 비자명한 이상이 존재하는지 여부를 통해 산출 가능한 곱의 형태인지 여부를 판단한다.
• 자리스키 조밀성의 개념을 적용하여 대수적 군의 성질을 이산 부분군—예를 들어 바움슬라그-솔리타르 군과 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$—로 확장한다.
• 코x터 군의 옥타드로닉 군에 대한 기하학적 표현을 통해 티츠 형식을 보존하는 정규직교군으로의 표현을 사용하여, 리 대수 이상의 구조를 통해 산출 불가능성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 다양체가 곱 다양체에 의해 지배될 수 있으며, 그에 따른 위상수학적 장애 요소는 무엇인가?
• RQ2 기본군에 어떤 조건이 존재하면 다양체가 곱에 의해 지배받을 수 없게 되는가?
• RQ3 유한 생성 군 중에서 산출 가능한 곱의 형태를 가진 군은 무엇이며, 이를 리 대수나 군론적 구조를 통해 어떻게 식별할 수 있는가?
• RQ4 단순체적 체적과 브라우어 도수의 상호작용은 곱 다양체에 의한 지배를 방해하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 기하학적으로 비가역적이고 무한이며 비아핀인 코x터 군은 산출 가능한 곱의 형태를 가질 수 있는가? 그리고 이를 방해하는 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 단순체적 체적이 양수인 다양체는 같은 차원의 어떤 곱 다양체에 의해서도 지배될 수 없다.
• 실수 아핀군 $\mathrm{Af}_1(\mathbb{R})$의 리 대수는 유일한 비자명한 이상을 가지므로 곱의 형태로 산출 가능하지 않으며, 이는 $|n| \geq 2$일 때 $\mathrm{BS}(1,n)$이 곱의 형태로 산출 가능하지 않음을 의미한다.
• $n \geq 2$일 때 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$는 그 리 대수에 비자명한 가 commutative 이상이 없기 때문에 곱의 형태로 산출 가능하지 않다.
• $\mathfrak{g}$가 단순이고 $V^r$ 위에서 기하학적으로 기하학적으로 작용하는 반직접곱 $V^r \rtimes \mathfrak{g}$는 중심화자와 이상의 구조 때문에 곱의 형태로 산출 가능하지 않다.
• 기하학적으로 비가역적이고 무한이며 비아핀인 코x터 군은 그 관련 리 대수가 $V^r \rtimes \mathfrak{g}$ 형태이며 비자명한 가 commutative 이상이 없기 때문에 곱의 형태로 산출 가능하지 않다.
• $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$의 자리스키 조밀한 부분군은 곱의 형태로 산출 가능하지 않음을 상속하며, 이는 이 결과를 이산 산술 군으로 확장한다.