[논문 리뷰] Brown-Peterson spectra in stable A^1-homotopy theory

Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|2000. 04. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 체 k 위의 안정적 A¹-호모토피 범주에서 MGL_{(p)}의 국소화된 대수적 코버지드먼트 스펙트럼 위에 동역학적 Quillen의 등급원을 정의하여, Brown-Peterson 스펙트럼을 구성한다. 이로 인해 BP는 MGL_{(p)}의 직접 합성원으로 실현된다. 이 구성은 Quillen의 정리에 의존하지 않고, 상위 부분환 E^* = ⊕E^{2i,i}에서의 형식적 군 법칙 대응을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We characterize ring spectra morphisms from the algebraic cobordism spectrum $\QTR{Bbb}{MGL}$ (\QCITE{cite}{}{Vo1}) to an oriented spectrum $\QTR{Bbb}{E}$ (in the sense of Morel \QCITE{cite}{}{Mo}) via formal group laws on the ''topological'' subring $E^{*}=\oplus_iE^{2i,i}$ of $E^{**}$. This result is then used to construct for any prime $p$ a motivic Quillen idempotent on $\QTR{Bbb}{MGL}_{(p)}$. This defines the $BP$-spectrum associated to the prime $p$ as in Quillen's \QCITE{cite}{}{Q1} for the complex-oriented topological case.

연구 동기 및 목표

• 체 k에 대해 안정적 A¹-호모토피 범주 SH(k)에서 Brown-Peterson 스펙트럼을 정의함으로써, Quillen의 위상수학적 구성 방식을 대수기하학으로 확장한다.
• MGL^{**}의 알려진 계산 부족을 극복하기 위해, MGL^* = ⊕MGL^{2i,i}라는 상위 부분환에 집중함으로써, 이 부분환이 복소 코버지드먼트 링 MU^*와 동형일 것이라 추측한다.
• 스펙트럼 맵 MGL → E와 E^*에서의 형식적 군 법칙 간의 대응을 확립함으로써, 등급원 분해를 통해 BP를 구성한다.
• Quillen의 Lazard 링에 대한 정리가 대수적 경우에 알려져 있지 않기 때문에, Quillen의 정리에 의존하지 않고 MGL_{(p)} 위에 순수하게 동역학적 등급원을 정의한다.
• 등급원 e_{(p)}를 통해 다이어그램 MGL_{(p)} → MGL_{(p)} → ...의 쌍대극한으로 BP를 정의함으로써, MGL_{(p)}로부터의 자연스러운 맵을 갖는 교환 법칙을 가진 스펙트럼 링으로서 BP를 얻는다.

제안 방법

• SH(k)에서의 정렬 스펙트럼에 관한 Morel의 결과를 활용하여, 안정적 및 비안정적 형태의 톰 이sovom르피즘을 확립한다.
• 정렬 스펙트럼 E에 대한 정렬이 상위 부분환 E^* = ⊕E^{2i,i}에서의 형식적 군 법칙과 이분기적으로 대응됨을 증명함으로써, Quillen의 정리를 동역학적 설정으로 일반화한다.
• MGL_{(p)}^*에서 p-특이 형식적 군 법칙과 그 p-특이화 사이의 표준적인 엄밀한 동형사상 ε: F_{x_{(p)}^0} → F_{x_{(p)}}를 구성한다.
• 이 동형사상을 활용하여, 정리 4.5를 통해 맵 e: MGL → MGL_{(p)}를 유도하는 스펙트럼 맵 e_{(p)}: MGL_{(p)} → MGL_{(p)}로의 상향 연장이 가능하다.
• 스펙트럼 맵 e_{(p)}가 등급원이면서 스펙트럼 맵임을 증명하기 위해, MGL_{(p)}^{**}에서 스마시 곱의 동형사상과 코프라이어의 방법을 통해 차이 β∘μ_{(p)} − μ_{(p)}∘(β∧β)가 0이 됨을 보인다.
• 등급원 e_{(p)}를 통해 다이어그램 MGL_{(p)} → MGL_{(p)} → ...의 쌍대극한으로 BP를 정의함으로써, BP가 MGL_{(p)}의 직접 합성원이 되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Quillen의 정리(즉, MU^*와 Lazard 링 간의 동형)에 의존하지 않고, 안정적 A¹-호모토피 범주 SH(k)에서 Brown-Peterson 스펙트럼을 구성할 수 있는가?
• RQ2 정렬 스펙트럼 E에 대해 스펙트럼 맵 MGL → E와 상위 부분환 E^* = ⊕E^{2i,i}에서의 형식적 군 법칙 간의 자연스러운 대응이 존재하는가?
• RQ3 MGL_{(p)} 위에 동역학적 Quillen의 등급원을 정의하여, 잘 정의된 BP 스펙트럼을 직접 합성원으로서 실현할 수 있는가?
• RQ4 등급원 e_{(p)}를 통해 BP를 구성할 때, MGL_{(p)}로부터의 자연스러운 맵을 갖는 교환 법칙을 가진 스펙트럼 링이 되는가?
• RQ5 전체 구성 과정이 동역학적 설정에서 수행될 수 있으며, 고전적 위상수학적 BP 스펙트럼의 구조적 성질를 유지하는가?

주요 결과

• MGL_{(p)}^*에서의 형식적 군 법칙 간의 엄밀한 동형사상을 통해, MGL → MGL_{(p)}로의 표준적인 스펙트럼 맵 e: MGL → MGL_{(p)}를 구성하며, 이는 맵 e_{(p)}: MGL_{(p)} → MGL_{(p)}를 유도한다.
• e_{(p)}가 등급원이면서 스펙트럼 맵임을 증명하여, SH(k)에서의 동역학적 Quillen의 등급원을 확립한다.
• 등급원 e_{(p)}를 통해 다이어그램 MGL_{(p)} → MGL_{(p)} → ...의 쌍대극한으로 BP를 정의함으로써, BP는 SH(k)에서의 교환 법칙을 가진 스펙트럼 링이 된다.
• u: BP → MGL_{(p)}와 ẽ: MGL_{(p)} → BP라는 표준적인 맵이 존재하여, ẽ∘u = id_{BP} 및 u∘ẽ = e_{(p)}를 만족함으로써, BP가 MGL_{(p)}의 직접 합성원임을 증명한다.
• 이 구성은 동역학적 및 위상수학적 설정 모두에서 유효하며, 위상수학적 경우에서는 Quillen의 Lazard 링에 대한 정리에 의존하지 않는 BP 존재성의 다른 증명을 제공한다.
• Quillen의 정리를 피하기 위해, Cartier의 정리와 MGL^*의 상위 부분환에서의 형식적 군 법칙의 구조에 의존함으로써 증명이 수행된다. 이 부분환은 MU^*와 동형일 것이라 추측된다.