[논문 리뷰] Brownian-time Brownian motion SIEs on $\Rp imes\Rd$: Ultra Regular direct and lattice-limits solutions and fourth order SPDEs links

Hassan Allouba|arXiv (Cornell University)|2007. 08. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 ℝ₊×ℝᵈ에서 브라운 운동 시간 브라운 운동 스토크라스틱 적분 방정식(BTBM SIEs)을 도입하여, 이완계수 a에 대해 리프시츠 조건과 그 이하 조건을 만족할 경우, 차원 d=1,2,3에서 초정규 허더 연속 해의 존재를 증명한다. 새로운 K-마르팅게일 접근법과 브라운 운동 시간 랜덤 워크(BTRW)의 격자 근사에 기반하여, d=1,2에서는 거의 국소 리프시츠, d=3에서는 허더 1/2 정규성을 가지며, 시간에 대해서는 γ∈(0,(4−d)/8)의 허더 지수를 갖는 새로운 시공간 정규성(공간에 대해 d=1,2에서는 거의 국소 리프시츠, d=3에서는 허더 1/2)을 확립한다. 이는 BTBM SIEs가 라운드-시바시크스 타입 방정식을 포함한 4차 스토크라스틱 편미분방정식(SPDEs)과 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

We delve deeper into the compelling regularizing effect of the Brownian-time Brownian motion density, $\KBtxy$, on the space-time-white-noise-driven stochastic integral equation we call BTBM SIE, which we recently introduced. In sharp contrast to second order heat-based SPDEs--whose real-valued mild solutions are confined to $d=1$--we prove the existence of solutions to the BTBM SIE in $d=1,2,3$ with dimension-dependent and striking Holder regularity, under both less than Lipschitz and Lipschitz conditions. In space, we show an unprecedented nearly local Lipschitz regularity for $d=1,2$--roughly, the SIE is spatially twice as regular as the Brownian sheet in these dimensions--and nearly local Hölder 1/2 regularity in d=3. In time, our solutions are locally Hölder continuous with exponent $γ\in(0,(4-d)/(8))$ for $1\le d\le3$. To investigate our SIE, we (a) introduce the Brownian-time random walk and we use it to formulate the spatial lattice version of the BTBM SIE; and (b) develop a delicate variant of Stroock-Varadhan martingale approach, the K-martingale approach, tailor-made for a wide variety of kernel SIEs including BTBM SIEs and the mild forms of many SPDEs of different orders on the lattice. Here, solutions types to our SIE are both direct and limits of their lattice version. The BTBM SIE is intimately connected to intriguing fourth order SPDEs in two ways. First, we show that it is connected to the diagonals of a new unconventional fourth order SPDE we call parametrized BTBM SPDE. Second, replacing $\KBtxy$ by the intimately connected kernel of our recently introduced imaginary-Brownian time-Brownian-angle process (IBTBAP), our SIE becomes the mild form of a Kuramoto-Sivashinsky SPDE with linear PDE part. Ideas developed here are adapted in separate papers to give a new approach, via our explicit IBTBAP representation, to many KS-type SPDEs in multi spatial dimensions.

연구 동기 및 목표

• 공간 차원 d=1,2,3에서 ℝ₊×ℝᵈ에서의 브라운 운동 시간 브라운 운동 스토크라스틱 적분 방정식(BTBM SIEs)의 해에 대한 존재성과 정밀한 허더 정규성을 확립하는 것.
• 이완계수 a에 대해 리프시츠 조건 이하의 조건에서도 해가 존재하도록 고전적 제2차 SPDE 이론을 초월하는 것.
• 이산화되지 않은 해를 정의하기 위해 격자 기반의 브라운 운동 시간 랜덤 워크(BTRW) 및 그 극한을 사용하는 새로운 격자 기반 접근법을 개발하는 것.
• BTBM SIEs와 4차 SPDEs 사이의 직접적 연결을 확립하는 것—특히 매개변수화된 BTBM SPDEs와 선형화된 쿠라모토-시바시크스 SPDEs를 포함하여.
• 임의의 차수의 커널 기반 SIEs 및 SPDEs에 적용 가능한 새로운 K-마르팅게일 접근법—스트루크-바라다한 방법의 특화된 변형—을 제안하고 적용하는 것.

제안 방법

• BTBM SIE를 도입: U(t,x) = ∫ℝᵈ 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈₜ;ₓ,ᵧ u₀(y)dy + ∫₀ᵗ∫ℝᵈ 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈₜ₋ₛ;ₓ,ᵧ a(U(s,y))𝕎(ds×dy), 여기서 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈ는 BTBM 전이 밀도이다.
• 격자 ℤᵈδₙ 상에서 브라운 운동 시간 랜덤 워크(BTRW)를 정의하여 BTBM 과정의 이산 근사로 사용하고, 격자 기반 SIEs를 가능하게 한다.
• 스트루크-바라다한 이론에서 유도된 새로운 K-마르팅게일 접근법을 적용하여 격자 BTRW SIEs의 해에 대한 경로 유일성과 존재성을 증명한다.
• 이토의 정리와 이산 미분 연산자(Δₙ, Δₙ²)를 사용하여 BTRW 과정에 대한 미분-차분 방정식(DDE) 연결을 유도한다.
• 긴장도와 정규성 추정을 통해 격자 해의 수렴성을 확보하여 연속 BTBM SIE에 대한 극한 해의 존재를 증명한다.
• BTBM 커널을 허수-브라운 운동 시간-브라운 각도 과정(IBTBAP) 커널로 대체하면, 선형화된 쿠라모토-시바시크스 SPDE의 온전한 형태(mild form)를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BTBM SIEs는 고전적 제2차 SPDE의 d=1 제한을 초월하여 공간 차원 d=1,2,3에서 해를 지닐 수 있는가?
• RQ2 이완계수 a에 대해 리프시츠 조건과 그 이하 조건을 만족할 경우, BTBM SIEs의 해에 대한 정확한 시공간 허더 정규성은 무엇인가?
• RQ3 브라운 운동 시간 랜덤 워크(BTRW)를 통한 격자 근사는 연속 BTBM SIE에 대해 일致한 해를 제공할 수 있으며, 극한에서 어떤 정규성이 유지되는가?
• RQ4 BTBM SIEs는 어떻게 4차 SPDEs와 연결되며, 특히 매개변수화된 BTBM SPDEs와 쿠라모토-시바시크스 타입 방정식과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비마르코프, 비세미마르팅게일 커널을 가진 임의의 차수의 커널 기반 SIEs 및 SPDEs에 대해 새로운 K-마르팅게일 접근법을 체계적으로 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 이완계수 a에 대해 리프시츠 조건과 그 이하 조건을 만족할 경우, d=1,2,3에서 BTBM SIE의 해가 존재하며, 이는 고전적 제2차 SPDE의 d=1 제한을 초월한다.
• 공간에 대해 d=1,2에서는 거의 국소 리프시츠 정규성을, d=3에서는 거의 국소 허더 1/2 정규성을 보이며, 이는 브라운 시트보다 두 배 더 높은 공간 정규성을 나타낸다.
• 시간에 대해 d=1,2,3에서 국소 γ-허더 연속성(γ∈(0,(4−d)/8))을 가지며, 차원이 증가할수록 시간 정규성이 향상됨을 보여준다.
• BTRW SIE의 격자 근사는 연속 BTBM SIE로 수렴하며, 극한 해는 연속 경우와 동일한 허더 정규성을 유지한다.
• BTBM SIE는 커널을 통해 새로운 매개변수화된 4차 SPDE와 연결되며, 커널을 IBTBAP 커널로 대체하면 선형화된 쿠라모토-시바시크스 SPDE의 온전한 형태를 얻는다.
• BTRW 과정에 대해 4차 미분-차분 방정식(DDE)이 도출되었으며, 이는 격자 과정과 고차수 PDE 사이의 새로운 연결 고리를 확립한다.