[논문 리뷰] Bruckner--Garg-type results with respect to Haar null sets in $C[0,1]$

Richárd Balka, Udayan B. Darji외 1명|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|2013. 11. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 연속 함수의 수준 집합의 위상적 구조를 [0,1]에서의 우세성(Haar null) 측도 이론 프레임워크 하에서 조사한다. Bruckner–Garg 정리에서 수준 집합이 코르다르 집합, 단일점, 또는 그 조합의 가산 합집합임을 만족하는 함수의 집합은 쇼이(shy)도 아니고 우세성(prevalent)도 아니며, 즉 Haar 모순적임을 규명한다. 이는 연속 함수의 일반적인 성질을 기술할 때 바이어르 카테고리와 우세성 사이에 근본적인 차이가 있음을 보여준다.

ABSTRACT

A set $\mathcal{A}\subset C[0,1]$ is \emph{shy} or \emph{Haar null } (in the sense of Christensen) if there exists a Borel set $\mathcal{B}\subset C[0,1]$ and a Borel probability measure $μ$ on $C[0,1]$ such that $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}$ and $μ\left(\mathcal{B}+f ight) = 0$ for all $f \in C[0,1]$. The complement of a shy set is called a \emph{prevalent} set. We say that a set is \emph{Haar ambivalent} if it is neither shy nor prevalent. The main goal of the paper is to answer the following question: What can we say about the topological properties of the level sets of the prevalent/non-shy many $f\in C[0,1]$? The classical Bruckner--Garg Theorem characterizes the level sets of the generic (in the sense of Baire category) $f\in C[0,1]$ from the topological point of view. We prove that the functions $f\in C[0,1]$ for which the same characterization holds form a Haar ambivalent set. In an earlier paper we proved that the functions $f\in C[0,1]$ for which positively many level sets with respect to the Lebesgue measure $λ$ are singletons form a non-shy set in $C[0,1]$. The above result yields that this set is actually Haar ambivalent. Now we prove that the functions $f\in C[0,1]$ for which positively many level sets with respect to the occupation measure $λ\circ f^{-1}$ are not perfect form a Haar ambivalent set in $C[0,1]$. We show that for the prevalent $f\in C[0,1]$ for the generic $y\in f([0,1])$ the level set $f^{-1}(y)$ is perfect. Finally, we answer a question of Darji and White by showing that the set of functions $f \in C[0,1]$ for which there exists a perfect $P_f\subset [0,1]$ such that $f'(x) = \infty$ for all $x \in P_f$ is Haar ambivalent.

연구 동기 및 목표

• 수준 집합이 Bruckner–Garg 정리의 위상적 특성(코르다르 집합, 단일점, 또는 그 조합의 가산 합집합)을 만족하는 C[0,1] 내 함수들의 우세성 상태를 규명하는 것.
• 바이어르 카테고리(일반적)와 우세성(측도론적 의미에서 일반적)에 따른 수준 집합의 위상적 성질을 비교하는 것.
• 특정 수준 집합 구조를 가진 함수들의 집합—예를 들어, 비완전한 섬유 또는 완전한 집합에서 무한한 도함수를 가진 함수들—이 쇼이, 우세성, 또는 Haar 모순적인지 조사하는 것.
• Darji와 White가 제기한, [0,1] 내 완전한 집합에서 무한 도함수를 가진 함수의 우세성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 초월수군 C[0,1]에서 초월수 노름 하에 Haar null(쇼이) 및 우세 집합의 개념을 Christensen의 정의에 따라 사용한다.
• 측도론적 도구를 적용: 모든 f ∈ C[0,1]에 대해 μ(B + f) = 0을 만족하는 Borel 확률 측도 μ와 Borel 집합 B를 구성하여 쇼이 집합을 정의한다.
• 레베그 측도가 아닌 f의 값 분포를 고려하기 위해, 수준 집합 분석에 점유 측도 λ∘f⁻¹를 사용한다.
• 확률 과정(예: 브라운 운동)과 함수해석학의 결과를 응용하여 특정 수준 집합 행동을 가진 함수를 구성한다.
• 길이 l_n인 중첩된 구간 I_{n,σ}의 재귀적 구성 방법을 통해, g′(x) = ∞인 완전한 집합 P를 가진 연속 함수 g를 정의한다.
• Dougherty의 결과를 응용하여, 코르다르 집합에서 R^d로의 우세한 사상의 일반적인 섬유가 연속기수의 기수를 가진다는 것을 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bruckner–Garg 정리의 수준 집합 구조를 만족하는 함수들의 집합이 C[0,1]에서 우세성, 쇼이, 또는 Haar 모순적인가?
• RQ2 레베그 측도에 대해 양의 측도를 가진 y ∈ R에 대해 f⁻¹(y)가 단일점인 함수들의 집합의 우세성 상태는 무엇인가?
• RQ3 점유 측도 λ∘f⁻¹에 대해 양의 측도를 가진 y ∈ R에 대해 f⁻¹(y)가 완전하지 않은 함수들의 집합의 우세성 상태는 무엇인가?
• RQ4 [0,1] 내 완전한 집합에서 무한 도함수를 가진 함수들의 집합이 C[0,1]에서 우세성, 쇼이, 또는 Haar 모순적인가?
• RQ5 K가 고립점이 없는 컴팩트 메트릭 공간일 때, C(K, R^d) 내 우세한 함수 f의 섬유 구조는 일반적인 경우와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• Bruckner–Garg 정리를 만족하는 C[0,1] 내 함수 f의 집합은 Haar 모순적이다. 즉, 쇼이도 아니고 우세성도 아니다.
• 레베그 측도에 대해 양의 측도를 가진 y ∈ R에 대해 f⁻¹(y)가 단일점인 C[0,1] 내 함수 f의 집합은 Haar 모순적이다.
• 점유 측도 λ∘f⁻¹에 대해 양의 측도를 가진 y ∈ R에 대해 f⁻¹(y)가 완전하지 않은 C[0,1] 내 함수 f의 집합은 Haar 모순적이다.
• 우세한 f ∈ C[0,1]에 대해, f([0,1]) 내 일반적인 y ∈ R에 대해 수준 집합 f⁻¹(y)는 완전하다.
• f′(x) = ∞를 만족하는 완전한 집합 P_f ⊂ [0,1]가 존재하는 C[0,1] 내 함수 f의 집합은 Haar 모순적이다.
• K가 고립점이 없는 컴팩트 메트릭 공간일 때, C(K, R^d) 내 우세한 함수 f에 대해, f⁻¹(y)의 기수는 모든 y ∈ U_f에 대해 2^ℵ₀인 비어있지 않은 열린 집합 U_f ⊂ R^d 가 존재한다.