[논문 리뷰] BSDE, Path-dependent PDE and Nonlinear Feynman-Kac Formula

Shigē Péng, Falei Wang|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 기존의 비마르코프성 비선형 페인만-카프 공식을 확장하여 경로에 의존하는 계수를 가진 비마르코프성 후행 확률미분방정식(BSDE)에 대해 새로운 경로에 의존하는 비선형 편미분방정식(PDE)의 클래스를 도입함으로써 비선형 페인만-카프 공식을 수립한다. 이를 통해 이러한 BSDE의 해가 경로에 의존하는 PDE의 $ C^{1,2} $-연속 해와 유일하게 대응됨을 증명하며, 두피르의 기능적 이토 미적분과 함께 고전적인 비선형 페인만-카프 이론을 비마르코프적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a type of path-dependent quasilinear (parabolic) partial differential equations in which the (continuous) paths on an interval [0,t] becomes the basic variables in the place of classical variables (t,x). This new type of PDE are formulated through a classical backward stochastic differential equation (BSDEs, for short) in which the terminal values and the generators are allowed to be general functions of Brownian paths. In this way we have established a new type of nonlinear Feynman-Kac formula for a general non-Markovian BSDE. Some main properties of regularities for this new PDE was obtained.

연구 동기 및 목표

• 최종 조건과 생성자(Generator)가 현재 상태가 아니라 전체 브라운 운동 경로에 의존하는 비마르코프적 설정으로 고전적인 비선형 페인만-카프 공식을 확장하는 것.
• 상태 변수가 $ (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^d $ 가 아니라 연속 경로 $ \omega_t \in C([0,t], \mathbb{R}^d) $ 로서 정의된 새로운 경로에 의존하는 비선형 편미분방정식(PDE)의 클래스를 정의하고 분석하는 것.
• 계수에 대한 연속성 조건 하에서 경로에 의존하는 BSDE의 해와 경로에 의존하는 PDE의 $ C^{1,2} $-연속 해 사이의 일대일 대응 관계를 수립하는 것.
• 두피르의 수평 및 수직 미분을 사용하여 경로에 의존하는 BSDE의 해에 대한 정칙성 결과를 증명하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동 경로의 기능적 기반으로 정의된 최종 조건 $ Y(T) = \Phi(\omega(s)_{0\leq s\leq T}) $ 와 생성자 $ f(t, \omega(s)_{0\leq s\leq t}, y, z) $ 를 갖는 경로에 의존하는 BSDE를 수립한다.
• 두피르의 기능적 이토 미적분을 사용하여 수평 미분 $ D_t u $, 수직 미분 $ D_x u $, 그리고 이阶 수직 미분 $ D_{xx} u $ 를 정의하는 경로에 의존하는 PDE를 도입한다.
• 경로까지의 기능적 표현인 $ u(t, \omega_t) := Y(t, \omega) $ 로 해를 정의하고, 조건 (H1)과 (H2) 하에서 이 해가 $ C^{1,2} $-연속임을 증명한다.
• 기능적 이토의 정리를 적용하여 과정 $ u(t, B_t^\gamma) $ 에 대해 증분 $ u(\gamma_{t,t+\delta}) - u(\gamma_t) $ 를 시간, 확산, 및 비틀림 성분으로 분해한다.
• 근사 수열 $ u^{(n)} $ 에 대한 수렴 및 추정을 사용하여 극한을 취하고, 다음과 같은 경로에 의존하는 PDE를 유도한다: $ D_t u + \frac{1}{2} D_{xx} u + f(t, \omega_t, u, D_x u) = 0 $.
• 해가 PDE를 만족하고 계수의 정칙성에 의해 반복적 근사 및 극한 과정을 통해 해의 정칙성이 유지됨을 보여, 유일성과 정칙성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최종 조건과 생성자가 현재 상태가 아니라 전체 브라운 운동 경로에 의존하는 BSDE에 대해 고전적인 비선형 페인만-카프 공식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 경로에 의존하는 BSDE에 적합한 PDE의 적절한 공식화는 무엇이며, 그 해를 기술하기 위해 필요한 도함수(수평, 수직)는 어떤 것인가?
• RQ3 경로에 의존하는 계수에 대해 어떤 정칙성 조건이 성립할 경우, 경로에 의존하는 BSDE의 해가 경로의 기능으로서 $ C^{1,2} $-연속 표현을 가질 수 있는가?
• RQ4 기능적 이토 미적분을 어떻게 활용하여 일반적인 경로에 의존하는 BSDE의 해가 만족하는 경로에 의존하는 PDE를 유도하고 검증할 수 있는가?
• RQ5 경로에 의존하는 BSDE의 해와 경로에 의존하는 PDE의 해 사이에 두피르의 기능적 도함수 기반에서 일대일 대응 관계가 존재하는가?

주요 결과

• 경로에 의존하는 BSDE의 해 $ u(t, \omega_t) := Y(t, \omega) $ 는 유일한 $ C^{1,2} $-해로서 다음 경로에 의존하는 PDE를 만족한다: $ D_t u + \frac{1}{2} D_{xx} u + f(t, \omega_t, u, D_x u) = 0 $, 최종 조건은 $ u(T, \omega_T) = \Phi(\omega_T) $ 를 만족한다.
• BSDE의 과정 $ Z(t) $ 는 정확히 수직 도함수 $ D_x u(t, \omega_t) $ 와 대응되며, 제어 과정의 기능적 도함수 해석을 확립한다.
• 조건 (H1)과 (H2) 하에서 해 $ u $ 는 $ C^{1,2} $-연속임을 증명하였으며, 이 조건은 최종 기능적 $ \Phi $ 와 생성자 $ f $ 가 경로 및 상태 변수에 대해 충분히 정칙이어야 함을 요구한다.
• 근사 수열 $ u^{(n)} $ 에 대한 극한 추론을 사용하여, 차이 $ u^{(n)}(\gamma_{t,t+\delta}) - u^{(n)}(B_{t+\delta}^\gamma) $ 가 정확한 기능적 이토 전개로 수렴함을 보였다.
• 핵심 항등식 $ \lim_{\delta \to 0} \frac{u(\gamma_{t,t+\delta}) - u(\gamma_t)}{\delta} = -\frac{1}{2} D_{xx} u(\gamma_t) - f(\gamma_t, u(\gamma_t), D_x u(\gamma_t)) $ 가 도출되었으며, 이는 PDE가 기능적 의미에서 성립함을 확인한다.
• 마르코프성의 경우 $ \Phi(\omega) = \varphi(\omega(T)) $ 이고 $ f $ 가 마르코프성일 때, 결과는 파르두와 펭(1992)의 고전적인 비선형 페인만-카프 공식으로 축소된다.