[논문 리뷰] BSDEs driven by a multi-dimensional martingale and their applications to market models with funding costs

Tianyang Nie, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 예측 가능 표현 성질를 갖는 다차원 연속 마르팅게일에 의해 유도되는 후행 확률미분방정식(BSDEs)에 대해 잘 정의된 문제성과 새로운 비교 정리법을 수립한다. 주요 기여는 자금 조달 비용과 콜라테랄화를 고려한 금융 모델에서 단일 및 이중 가격의 존재성, 유일성, 그리고 무차익거래 경계를 도출할 수 있도록 해주는 일반화된 비교 정리법이다.

ABSTRACT

We establish some well-posedness and comparison results for BSDEs driven by one- and multi-dimensional martingales. On the one hand, our approach is largely motivated by results and methods developed in Carbone et al. (2008) and El Karoui and Huang (1997). On the other hand, our results are also motivated by the recent developments in arbitrage pricing theory under funding costs and collateralization. A new version of the comparison theorem for BSDEs driven by a multi-dimensional martingale is established and applied to the pricing and hedging BSDEs studied in Bielecki and Rutkowski (2014) and Nie and Rutkowski (2014). This allows us to obtain the existence and uniqueness results for unilateral prices and to demonstrate the existence of no-arbitrage bounds for a collateralized contract when both agents have non-negative initial endowments.

연구 동기 및 목표

• 다차원 연속 마르팅게일에 의해 유도되는 BSDEs에 대한 기존 비교 정리법을 예측 가능 표현 성질를 갖는 다차원 연속 마르팅게일로 확장한다.
• 이전 연구들, 특히 Carbone 등(2013)과 El Karoui & Huang(1997)에서 사용된 Doléans-Doleans 지수함수에 대한 엄격한 적분 가능성 및 양의 조건을 완화한다.
• 자금 조달 비용과 콜라테랄화 거래를 포함한 금융 시장에서 상당권의 가격 설정과 헤징을 위한 이론적 기초를 제공한다.
• 제시된 비교 정리법이 자금 조달 비용과 이중 대차상환 리스크를 포함한 실제 시장 모델에 어떻게 적용될 수 있는지 보여준다.
• 비대칭 자금 조달 비용과 콜라테랄화를 고려한 모델에서 공정한 이중 가격에 대한 비어 있지 않은 간격의 존재를 확립한다.

제안 방법

• 생성자에 대한 m-리프시츠 조건 하에서 다차원 연속 마르팅게일에 의해 유도되는 BSDEs에 대해 존재성, 유일성 및 안정성 결과를 도출한다.
• 이전 연구들보다 더 약한 가정 하에서도 유효한 새로운 비교 정리법(정리 3.3)을 제안한다.
• 적용 범위를 넓히기 위해 이차 변동 과정 ⟨M⟩에 대한 대체 가정인 가정 4.1 및 4.2를 분석한다.
• Bielecki & Rutkowski(2013) 및 Nie & Rutkowski(2014)에서 유도된 자금 조달 비용 모델에서 발생하는 BSDEs에 비교 정리법을 적용한다.
• 원래의 BSDEs를 공통의 종료 조건과 드리프트 항을 갖는 등가 형태로 변환하여, 새로운 정리로 직접 비교할 수 있도록 한다.
• 변환된 BSDEs를 사용하여 해들 사이의 부등식을 증명함으로써 단일 가격의 경계 및 초기 자산에 대한 가격의 단조성 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Carbone 등(2013)과 El Karoui & Huang(1997)에서 제시된 가정보다 더 약한 조건 하에서 다차원 연속 마르팅게일에 의해 유도되는 BSDEs에 대한 비교 정리법을 수립할 수 있는가?
• RQ2 자금 조달 비용과 콜라테랄화를 고려한 이중 계약에서 비교 정리법을 어떻게 적용하여 무차익거래 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ3 자금 조달 비용 모델에서 기초 자산의 초기 자산이 증가할 경우 상당권의 가격이 증가하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비대칭 자금 조달 비용과 콜라테랄화를 고려한 모델에서 공정한 이중 가격에 대한 비어 있지 않은 간격의 존재를 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ5 자금 조달 비용 모델에서 BSDE의 생성자가 새로운 비교 정리법의 요구 조건을 충족시키는 데 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 생성자에 대한 m-리프시츠 조건 하에서 예측 가능 표현 성질를 갖는 다차원 연속 마르팅게일에 의해 유도되는 BSDEs에 대해 새로운 비교 정리법(정리 3.3)을 수립하였다.
• 비교 정리법을 적용하여 초기 자산이 양수인 BSDE의 해가 더 작은 자산을 가진 해를 지배함을 보여, 초기 자산에 대한 가격의 단조성(증가성)을 의미한다.
• 양 측면의 초기 자산이 모두 음이 아닌 경우, 공정한 이중 가격에 대한 비어 있지 않은 간격의 존재를 확립하였다.
• 특히 콜라테랄화 거래와 비대칭 자금 조달 스프레드를 포함한 자금 조달 비용 모델에서 유도되는 BSDEs의 클래스에 대해 비교 정리법의 가정을 검증하였다.
• 모든 $x_1, x_2 \geq 0$에 대해 불등식 $-\widetilde{f}_l(t, y + x_1, z) \geq \widetilde{f}_l(t, -y + x_2, -z)$가 $\widetilde{\mathbb{P}}^l \otimes \ell$-거의 확실하게 성립하며, 이는 비교 결과의 타당성을 보장한다.
• 핵심 부등식 (5.13)의 증명은 $r^l_t \leq r^b_t$ 이며, 항등식 $\delta = \sum_{i=1}^d (r^l_t - r^{i,b}_t)|\widetilde{z}^i_t| \leq 0$ 이 성립함을 바탕으로 하여, 필요한 생성자 조건이 확인된다.