[논문 리뷰] BSDEs with weak reflections and partial hedging of American options

Roxana Dumitrescu, Romuald Élie외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 정지시간에 대해 확률적 제약 조건을 만족하는 약한 반사가 있는 역확률미분방정식(Backward Stochastic Differential Equations)을 도입한다. 이는 해가 모든 정지시간에 걸쳐 제약 조건을 만족함을 의미한다. 논문은 잘 정의됨을 증명하고, 하향 반사된 g-하위마르팅가의 비선형 Mertens형 분해를 도출하며, 최소 초해를 스토크래틱 제어/최적 정지 게임으로 표현함으로써 미국형 옵션의 근사 헤지에 대한 새로운 프레임워크를 제시한다.

ABSTRACT

We introduce a new class of \ extit{Backward Stochastic Differential Equations with weak reflections} whose solution $(Y,Z)$ satisfies the weak constraint $\ extbf{E}[\\Psi(\ heta,Y_\ heta)] \\geq m,$ for all stopping time $\ heta$ taking values between $0$ and a terminal time $T$, where $\\Psi$ is a random non-decreasing map and $m$ a given threshold. We study the wellposedness of such equations and show that the family of minimal time $t$-values $Y_t$ can be aggregated by a right-continuous process. We give a nonlinear Mertens type decomposition for lower reflected $g$-submartingales, which to the best of our knowledge, represents a new result in the literature. Using this decomposition, we obtain a representation of the minimal time $t$-values process. We also show that the minimal supersolution of a such equation can be written as a \ extit{stochastic control/optimal stopping game}, which is shown to admit, under appropriate assumptions, a value and saddle points. From a financial point of view, this problem is related to the approximative hedging for American options.

연구 동기 및 목표

• 모든 정지시간에 대해 약한 반사 제약 조건을 갖는 새로운 유형의 역확률미분방정식을 개발한다.
• 최소 시간-t 값 과정의 잘 정의됨과 경로의 연속성(오른쪽 연속성)을 확보한다.
• 하향 반사된 g-하위마르팅가에 대해 비선형 Mertens형 분해를 유도하며, 이는 문헌에서의 새로운 결과이다.
• 최소 초해를 스트로크래틱 제어/최적 정지 게임으로 표현하고, 적절한 조건 하에서 값과 안장점의 존재성을 증명한다.
• 금융 시장에서 미국형 옵션의 근사 헤지 문제에 이 프레임워크를 적용한다.

제안 방법

• 모든 정지시간 θ ∈ [0, T]에 대해 E[Ψ(θ, Yθ)] ≥ m 라는 제약 조건을 통해 약한 반사가 있는 새로운 유형의 BSDE를 수식화한다.
• 하향 반사된 g-하위마르팅가의 개념을 도입하고, 약한 반사 하에서 비선형 Mertens형 분해를 도출한다.
• 스토크래틱 제어/최적 정지 게임 공식화를 통해 최소 초해를 구성한다.
• 최소 초해가 오른쪽 연속 과정으로 집계질 수 있음을 증명한다.
• 생성자와 필터레이션에 대해 적절한 가정 하에서 게임의 값과 안장점의 존재성을 확립한다.
• 분해와 게임 표현을 활용하여 해를 미국형 옵션의 최소 초헤지 비용과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 정지시간에 대해 약한 반사 제약 조건을 갖는 새로운 유형의 BSDE가 잘 정의되고 정규 해 과정을 도출할 수 있는가?
• RQ2 약한 반사 하에서 하향 반사된 g-하위마르팅가에 대해 비선형 Mertens형 분해가 존재하는가?
• RQ3 이러한 BSDE의 최소 초해가 값과 안장점을 갖는 스트로크래틱 제어/최적 정지 게임으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 약한 반사 BSDE의 해와 미국형 옵션의 최소 초헤지 비용 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 약한 반사 하에서 최소 시간-t 값들이 오른쪽 연속 과정으로 집계될 수 있는가?

주요 결과

• 최소 시간-t 값의 집합 Yt는 오른쪽 연속 과정으로 집계될 수 있으며, 이는 해의 경로 정규성 보장을 한다.
• 하향 반사된 g-하위마르팅가에 대해 비선형 Mertens형 분해가 새롭게 확립되었으며, 이는 이론적 발전에 중대한 기여이다.
• 약한 반사 BSDE의 최소 초해는 적절한 가정 하에서 값과 안장점을 갖는 스트로크래틱 제어/최적 정지 게임으로 표현된다.
• 해 과정은 미국형 옵션의 최소 초헤지 비용을 표현하며, 근사 헤지에 대한 새로운 접근법을 제공한다.
• 모든 정지시간에 대한 약한 제약 조건을 통합함으로써 반사 BSDE 이론을 확장하여 최적 정지 및 헤지 문제에 대한 적용 범위를 넓혔다.
• 결과적으로, 약한 반사 BSDE를 통한 미국형 옵션의 동적 헤지에 대해 엄밀한 확률론적이고 PDE를 포함하지 않는 기반을 구축하였다.