[논문 리뷰] BT_INHOM -- MATLAB routines for balanced truncation model reduction for systems with nonzero initial value

Schröder, Christian, Voigt, Matthias|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 03.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비영이 초기 조건을 가진 선형 시간 불변 시스템의 모델 차수 축소를 위한 새로운 균형 절단 방법 jShiftBT를 제안한다. 상태에 대한 이동 변환을 도입함으로써 입력과 초기 조건 응답을 함께 또는 별도로 축소할 수 있으며, ROM 구축 이전에 계산 가능한 사전 오차 한계를 제공한다. 주요 기여는 기존 방법보다 수치 실험에서 뛰어난 성능을 보이는 효율적이고 파rameter 최적화된 오차 한계이다.

ABSTRACT

In standard balanced truncation model order reduction, the initial condition is typically ignored in the reduction procedure and is assumed to be zero instead. However, such a reduced-order model may be a bad approximation to the full-order system, if the initial condition is not zero. In the literature there are several attempts for modified reduction methods at the price of having no error bound or only a posteriori error bounds which are often too expensive to evaluate. In this work we propose a new balancing procedure that is based on a shift transformation on the state. We first derive a joint projection reduced-order model in which the part of the system depending only on the input and the one depending only on the initial value are reduced at once and we prove an a priori error bound. With this result at hand, we derive a separate projection procedure in which the two parts are reduced separately. This gives the freedom to choose different reduction orders for the different subsystems. Moreover, we discuss how the reduced-order models can be constructed in practice. Since the error bounds are parameter-dependent we show how they can be optimized efficiently. We conclude this paper by comparing our results with the ones from the literature by a series of numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 표준 균형 절단의 한계를 해결하기 위해, 비영이 초기 조건을 무시하고 떨어진 축소 모델을 유도할 수 있음을 해결한다.
• 입력과 초기 조건 응답을 동시에 고려하는 모델 축소 프레임워크를 개발한다.
• 세 개의 라파노프 방정식의 해에 의존하며 계산 효율적인 사전 오차 한계를 제공한다.
• 입력과 초기 조건 성분에 대해 서로 다른 축소 차수를 허용함으로써 유연한 축소를 가능하게 한다.
• 수치 실험을 통해 제안된 방법이 기존 기법들보다 오차 노름과 강건성 측면에서 뛰어나다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 상태에 대한 이동 변환을 도입하여 시스템 응답을 입력에 의존하는 부분과 초기 조건에 의존하는 부분으로 분리한다.
• 입력과 초기 조건 성분을 동시에 축소하는 공동 투영 축소 모델을 유도하며, 사전 오차 한계를 보장한다.
• 다음 형태의 사전 오차 한계를 설정한다: $\|y - y_r\|_{\mathbb{L}_2} \leq 2(\eta_{r+1} + \cdots + \eta_n)(\|u\|_{\mathbb{L}_2} + \beta\|z_0\|_2)$, 여기서 $\eta_i$ 는 한켈 특이값이다.
• 입력과 초기 조건 성분에 대해 별도의 축소 차수를 허용하는 별도의 투영 절차를 도입한다.
• 오차 한계를 최소화하기 위해 파rameter $\beta$ 를 효율적으로 최적화하여 다양한 초기 조건에서 강건한 성능을 달성한다.
• 세 개의 라파노프 방정식의 해를 사용하여 축소 모델을 구축하고, 수치적 안정성을 향상시키기 위해 스무딩 필터를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영이 초기 조건을 고려하면서도 사전 오차 한계를 유지할 수 있는 균형 절단 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 공동 투영 방법은 입력과 초기 조건 응답을 별도로 축소하는 것과 비교해 오차와 계산 비용 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 비싼 사후 평가가 필요 없이 파arameter $\beta$ 를 조정하여 오차 한계를 효율적으로 최적화할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 표준 BT, TrlBT, AugBT, BT-BT와 같은 기존 기법들보다 $\mathbb{L}_2$ 및 $\mathbb{L}_\infty$ 오차를 낮출 수 있는가?
• RQ5 오차 한계와 축소 모델은 초기 조건 파arameter $\beta$ 의 변화에 대해 얼마나 강건한가?

주요 결과

• 예제 1에서 jShiftBT는 가장 낮은 $\mathbb{L}_2$-오차(1.1e+0)와 $\mathbb{L}_\infty$-오차(1.7e+0)를 기록하며 표준 BT 및 기타 변종보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 예제 2에서 $\beta = 100$ 인 jShiftBT는 $\mathbb{L}_2$-오차 3.6e+1을 기록하였으며, 이는 표준 BT(2.3e+2)와 BT-BT(5.5e+1)보다 현저히 낮았다.
• 사전 오차 한계는 ROM 구축 이전에 계산 가능하며, 파arameter에 의존하므로 $\beta$ 를 최소화하기 위해 효율적으로 최적화할 수 있다.
• 공동 투영 방법(jShiftBT)은 두 예제에서 모두 다른 모든 방법보다 일관되게 뛰어난 성능을 보이며 전체 오차 노름을 최소화하는 데 기여했다.
• 오차 한계는 $\beta$ 의 변화에 대해 강건하며, 다양한 값에서 최소한의 성능 저하를 보이며 실용적 사용에서의 안정성을 시사한다.
• 방법의 계산 효율성은 오직 세 개의 라파노프 방정식을 푸는 데서 기인하며, 파arameter 최적화 역시 비교적 비용이 적게 든다.