[논문 리뷰] BTZ black holes, WZW models and noncommutative geometry

Pierre Bieliavsky, Stéphane Detournay외 2명|ArXiv.org|2005. 11. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2+1차원 중력에서 비회전 BTZ 블랙홀을 SL(2,R) WZW 모델을 통해 끈 이론적 배경으로 조사하며, 이의 기하학이 비틀린 쌍대류 클래스로의 분할에 의해 끈에 감기는 D1-브레인을 지지함을 보여준다. 해소 가능한 AN 부분군 위에서 Rieffel 유형의 стрict 변형 양자화를 사용하여, 비아교적 구조를 지닌 비아교적 로레츠 반공간을 구축함으로써 BTZ 블랙홀 기하학과 비가환 기하학 및 끈 이론을 연결한다.

ABSTRACT

This note is based on a talk given by one of the authors (S. D.) at the "Rencontres Mathématiques de Glanon", held in Glanon in July 2004. We will first introduce the BTZ black hole, solution of Einstein's gravity in 2+1 dimensions, and emphasize some remarkable properties of its geometry. We will essentially pay attention to the non-rotating black hole, whose structure is significantly different to the generic case. We will then turn the some aspects of string theory, namely the emergence of non-commutative geometry and the embedding of the BTZ black hole as an exact string background using the Wess-Zumino-Witten (WZW) model. We will show the existence of winding symmetric WZW D1-branes in this space-time from the geometrical properties of the non-rotating black hole. Finally, we will introduce strict deformations of these spaces, yielding an example of non-commutative lorentzian non-compact space, with non-trivial causal structure.

연구 동기 및 목표

• 비회전 BTZ 블랙홀의 기하학적 구조를 AdS₃의 몫으로 탐색하기 위해.
• 비틀린 쌍대류 클래스로의 분할을 통해 BTZ 시공간 내 끈에 감기는 D1-브레인을 식별하기 위해.
• AN 부분군에서 Rieffel의 방법을 통해 시공간 기하학의 엄밀한 변형 양자화를 구축하기 위해.
• 끈 이론적 배경(즉, WZW 모델)과 비가환 로레츠 기하학 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• AdS₃를 그 자체의 양측 불변 켈링 메트릭을 지닌 군 다양체 SL(2,ℝ)로 식별한다.
• 기하학을 유지하면서 SL(2,ℝ)의 이산 부분군에 의한 AdS₃의 몫으로서 BTZ 블랙홀을 분석한다.
• 2차원 비틀린 쌍대류 클래스로의 시공간의 분할을 식별하며, 이들은 AN과 미분동형이다.
• 왼쪽 불변 스타 곱을 사용하여 AN 위의 함수 대수에 Rieffel 유형의 엄밀한 변형 양자화를 적용한다.
• 스타 곱 커널 K[x,y,z]의 위상 함수 Ψ와 진폭 B에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• Iwasawa 분해 (K×A×N)를 사용하여 군을 매개변수화하고 측도 dμₓ = daₓ dnₓ를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SL(2,ℝ) 내 비틀린 쌍대류 클래스는 BTZ 블랙홀 내 D-브레인 구성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 비회전 BTZ 블랙홀의 기하학은 일관된 비가환 변형을 지지할 수 있는가?
• RQ3 AN 부분군은 BTZ 시공간의 엄밀한 변형 양자화를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 SL(2,ℝ) 위의 WZW 모델은 어떻게 BTZ 블랙홀을 정확한 끈 배경으로 실현하는가?
• RQ5 AN 위의 스타 곱의 구조는 무엇이며, 어떻게 비가환 로레츠 반공간을 유도하는가?

주요 결과

• 비회전 BTZ 블랙홀 기하학은 해소 가능한 군 AN과 미분동형인 비틀린 쌍대류 클래스로의 분할을 지닌다.
• 이 분할의 낱말들은 끈 이론적 BTZ 배경 내에서 끈에 감기는 대칭 D1-브레인에 해당한다.
• AN 부분군은 각 낱말 위에서 등장하는 등장성으로 작용하여, AN 위의 함수 대수에 대한 Rieffel 유형의 엄밀한 변형 양자화를 가능하게 한다.
• 결과로 얻어진 스타 곱은 위상 함수 Ψ = sinh(a_y - a_x)n_z + sinh(a_z - a_y)n_x + sinh(a_x - a_z)n_y를 가진 명시적 커널을 지닌다.
• 진폭 B는 cosh(a_z - a_y)를 포함하는 함수의 집합과 P(0)=1인 정규화된 짝수 함수 P로 주어진다.
• 이 구성은 비가환성, 비콤팩트성, 비트리비얼한 인과적 구조를 지닌 비가환 로레츠 반공간을 유도한다.