[논문 리뷰] Building 1D lattice models with $G$-graded fusion category

Shang-Qiang Ning, Bin-Bin Mao외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 16.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $G$-graded unitary fusion categories ($\mathcal{C}_G$)를 기반으로 일차원 양자 격자 모델의 가족을 구성하여, anyon-chain 모델과 2차원 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상의 경계 이론 사이의 보간을 실현한다. 이러한 모델은 낮은 에너지 물리에 강력한 제약을 가하는 비표준적인 분류 대칭을 보이며, 이론적 분석과 수치적 증거에 따르면 이 비정상적인 분류 대칭으로 인해 금속성의 가능성이 매우 높다.

ABSTRACT

We construct a family of one-dimensional (1D) quantum lattice models based on $G$-graded unitary fusion category $\mathcal{C}_G$. This family realize an interpolation between the anyon-chain models and edge models of 2D symmetry-protected topological states, and can be thought of as edge models of 2D symmetry-enriched topological states. The models display a set of unconventional global symmetries that are characterized by the input category $\mathcal{C}_G$. While spontaneous symmetry breaking is also possible, our numerical evidence shows that the category symmetry constrains the the models to the extent that the low-energy physics has a large likelihood to be gapless.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 대칭이 $G$-graded unitary fusion categories ($\mathcal{C}_G$)로 묘사되는 1차원 양자 격자 모델을 체계적으로 구성하는 데 시스템적 프레임워크를 개발하는 것.
• 특히 2차원 대칭 풍부한 위상(SET) 상의 경계 이론과 관련하여, 1차원 시스템에서 분류 대칭과 위상 순서의 상호작용을 탐구하는 것.
• 비정상적인 분류 대칭이 1차원 양자 시스템의 낮은 에너지 물리에 어떻게 제약을 가하는지, 특히 금속성 위상의 발생 여부를 조사하는 것.
• $\mathcal{C}_G$-대칭 모델과 2+1차원 위상적 상의 경계 이론, 특히 SPT 및 SET 상태 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 모델은 $G$-graded unitary fusion category $\mathcal{C}_G$로 시작하며, 여기서 객체들은 군 원소 $g \in G$로 표기되고 융합 규칙이 그레이딩을 따르는 방식이다.
• 힐베르트 공간은 1차원 격자 위에 정의되며, 국소 자유도는 $\mathcal{C}_G$의 anyon으로 표기되며, 융합 규칙은 $F$-기호와 양자 차원을 통해 표현된다.
• 카테고리 대칭 생성자 $U(y_h)$와 가환하는 해밀토니안이 도입되어, 융합 분류의 대수적 구조에 대한 불변성을 확보한다.
• 카테고리 대칭은 융합 분류 $\mathcal{C}_G$의 규칙에서 유도된 대칭 대수를 갖는 단위 연산자 $U(y_h)$를 통해 격자에 구현된다.
• 다양한 $\mathcal{C}_G$ 예제, 즉 $\mathbb{Z}_2$, 이징(Ising), 탐바라-야마가미(Tambara-Yamagami), $SU(2)_k$ 분류를 포함하여 정확한 대각화를 통해 모델을 수치적으로 분석한다.
• 힐베르트 공간에서 프로젝션 연산자 $B_p$의 트레이스가 1임을 해석적으로 증명하여, 카테고리 대칭 대수의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $G$-graded 융합 분류로 묘사되는 일반화된 대칭을 갖는 1차원 양자 격자 모델을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 비정상적인 분류 대칭이 1차원 시스템에서 낮은 에너지 물리에 미치는 영향은 무엇인가? 특히 금속성 또는 자발적 대칭 깨짐과 관련하여 어떻게 나타나는가?
• RQ3 $\mathcal{C}_G$-대칭 모델이 2+1차원 대칭 풍부한 위상적 상의 경계 이론을 어느 정도 실현하는가?
• RQ4 카테고리 대칭이 대수적으로 시스템이 금속성 CFT를 비가역적 위상보다 선호하도록 제약을 가할 수 있는가?
• RQ5 다양한 융합 분류($\mathbb{Z}_2$, 이징, 탐바라-야마가미, $SU(2)_k$)가 모델의 상 구조에 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 구성된 1차원 격자 모델은 anyon-chain 모델과 2차원 SPT 상의 경계 이론 사이의 보간을 실현하며, $\mathcal{C}_G$ 대칭이 일반화된 전역 대칭으로 작용한다.
• 수치적 결과에 따르면 $\kappa = 1$ 및 $\kappa = -1$일 때 모델은 conformal field theory(CFT)와 일치하는 금속성 낮은 에너지 물리적 성질을 보인다.
• 카테고리 대칭은 시스템을 매우 강하게 제약하여, 비가역적이고 비퇴화된 기저 상태를 갖는 금속성 위상의 가능성이 낮고, 금속성 또는 위상적으로 순서된 위상으로 향하는 경향이 있다.
• 프로젝션 연산자 $B_p$의 트레이스가 엄밀히 1임을 증명하여, 힐베르트 공간 내에서 카테고리 대칭 대수의 일관성을 확인한다.
• 군 $G = \mathbb{Z}_2$인 $\mathcal{C}_G$의 경우, 모델은 비자명한 3-cocycle 이상으로 인한 경계 이론을 실현하며, 이는 보손 SPT 위상의 경계 이론에 해당한다.
• 모델들은 비정상적인 분류 대칭을 보이며, 이는 대칭을 유지하는 가역적이고 비퇴화된 기저 상태의 존재를 금지하여 't Hooft 이상 제약 조건과 일관된다.