[논문 리뷰] Building arbitrage-free implied volatility: Sinkhorn's algorithm and variants

Hadrien De March, Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 싱크호른 알고리즘과 그 변종을 사용하여 매매 호가 구좌에서 무위험한 임의의 변동성 표면을 신속하고 수렴 가능한 수치적 방법으로 구성하는 데 목적이 있다. 문제를 마팅갈 최적 운반 문제로 재정의함으로써, 행사가 및 만기 모두에서 무위험 조건을 강제하면서도 시장 호가를 매매 범위 내에서 정확히 맞추는 방법을 제안한다. 이로 인해 이론적 수렴 보장을 갖는 고속 캘리브레이션을 달성한다.

ABSTRACT

We consider the classical problem of building an arbitrage-free implied volatility surface from bid-ask quotes. We design a fast numerical procedure, for which we prove the convergence, based on the Sinkhorn algorithm that has been recently used to solve efficiently (martingale) optimal transport problems.

연구 동기 및 목표

• 캘린더 및 벌점 무위험성을 포함한 무위험한 임의의 변동성 표면을 수치적으로 효율적이고 수렴 가능한 절차로 구성하는 것.
• 시장 콜 옵션 호가를 매매 범위 내에서 정확히 맞추어 시장 일관성을 유지하는 것.
• 이르기 전의 멕시칸 하트 모양의 미소를 포함한 복잡한 변동성 패턴을 재현할 수 있는 능력 유지.
• 주식 파생상품에서 시장 제작자 및 위험 중립 모델 캘리브레이션에 적합한 확장 가능한 솔루션 제공.

제안 방법

• 무위험한 변동성 표면의 구성 문제를 마팅갈 최적 운반 문제로 재정의하며, 근사 마진 및 모멘트 제약 조건을 포함한다.
• 싱크호른 알고리즘을 적용하여 공동 분포를 반복적으로 스케일링하여 경험적 마진 및 마팅갈 제약 조건을 만족시키며, 무위험 조건을 보장한다.
• Bregman 투영을 통해 콜 가격 제약 조건을 최적화에 직접 통합함으로써 시장 호가에 정확히 맞추는 것을 보장한다.
• 엔트로피 정규화를 사용한 이중 형태를 통해 수치적 안정성과 빠른 수렴을 확보한다.
• 이론적으로 이산 시간 그리드와 이산 행사가를 다룰 수 있어 실제 시장 데이터에 대한 구현이 가능하다.
• Bregman 투영과 강한 볼록성 논증을 통해 수렴성을 증명하였으며, 비퇴화 조건 하에 유일한 해로 전역 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 싱크호른 알고리즘은 매매 호가 및 마팅갈 제약 조건을 고려한 무위험한 임의의 변동성 표면을 구성하는 데 적응 가능할까?
• RQ2 이 방법은 관찰된 시장 옵션 가격을 정확히 맞추면서도 행사가 및 만기 무위험성을 동시에 보장할 수 있을까?
• RQ3 제안된 알고리즘의 수렴 행동은 어떠한가? 어떤 조건에서 전역적으로 유일한 해로 수렴하는가?
• RQ4 속도, 정확도, 내구성 측면에서 기존의 파arametric 또는 SVM 기반 접근법과 비교해 볼 때 어떻게 성능을 내는가?
• RQ5 이 알고리즘은 실무에서 비균일한 시간 그리드와 이산 행사가 집합을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비퇴화 조건 하에서 제안된 알고리즘이 전역적으로 유일한 해로 수렴하며, 강한 볼록성과 Bregman 투영 이론에 의해 수렴 속도가 보장된다.
• 시장 콜 옵션 가격이 매매 범위 내에서 정확히 맞춰져 있어 시장 일관성이 유지된다.
• 결과적으로 생성된 임의의 변동성 표면은 마팅갈 및 마진 제약 조건에 의해 캘린더 및 벌점 무위험성이 보장된다.
• 알고리즘은 계산적으로 효율적이고 확장 가능하여 실시간 시장 제작 및 캘리브레이션 작업에 적합하다.
• 엔트로피 정규화와 이중성에 기반한 이론적 수렴이 증명되었으며, 최적화 과정에서 기울기 불일치에 대한 명시적 경계가 존재한다.
• 희박하거나 노이즈가 많은 데이터에 캘리브레이션된 경우에도 복잡한 변동성 패턴, 예를 들어 멕시칸 하트 모양의 미소를 성공적으로 재현한다.