[논문 리뷰] Building Archimedean Space

Bogdan Stoica|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 04.

advanced mathematical theories참고 문헌 71인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한한 자리(예: p진수 체)에서의 등가 이론들로 분해함으로써 아르키메데스 물리 이론들—예를 들어 양자역학과 중력—을 재구성하는 새로운 프레임워크를 제안한다. p진수 양자역학과 브라하트-티츠 트리(bruhat-tits trees)를 시공간의 유한자리 대응물로 사용하여, 실수 공간의 동역학—유럽형 및 로렌츠형 AdS2 중력 포함—이 p진수 구조를 통해 분해-재구성 메커니즘으로부터 유도될 수 있음을 보여준다. 두 영역 간의 분할 함수와 곡률이 일치한다.

ABSTRACT

I propose that physical theories defined over finite places (including $p$-adic fields) can be used to construct conventional theories over the reals, or conversely, that certain theories over the reals "decompose" over the finite places, and that this decomposition applies to quantum mechanics, field theory, gravity, and string theory, in both Euclidean and Lorentzian signatures. I present two examples of the decomposition: quantum mechanics of a free particle, and Euclidean two-dimensional Einstein gravity. For the free particle, the finite place theory is the usual free particle $p$-adic quantum mechanics, with the Hamiltonian obtained from the real one by replacing the usual derivatives with Vladimirov derivatives, and numerical coefficients with $p$-adic norms. For Euclidean two-dimensional gravity, the finite place objects mimicking the role of the spacetime are $\mathrm{SL}(\mathbb{Q}_p)$ Bruhat-Tits trees. I furthermore propose quadratic extension Bruhat-Tits trees as the finite place objects into which Lorentzian $\mathrm{AdS}_2$ decomposes, and Bruhat-Tits buildings as a natural generalization to higher dimensions, with the same symmetry group on the finite and real sides for the manifolds and buildings corresponding to the vacuum state.

연구 동기 및 목표

• 유한 자리에서의 p진수 이론과 실수에서의 전통적 아르키메데스 물리학 사이의 수학적·물리적 다리를 구축하기 위해.
• 유클리드형 및 로렌츠형 서명을 가진 양자역학과 중력 이론이 p진수 이론들로부터 재구성될 수 있음을 보여주기 위해.
• SL2(Qp) 브라하트-티츠 트리 및 그 이차 확장과 같은 유한자리 기하적 대상들을 p진수 표현에서 시공간의 대응물로 식별하기 위해.
• 아르키메데스 이론에서의 분할 함수와 곡률 구조가 p진수 구성에서 유도된 것들과 일치함을 보여주기 위해.
• 연구된 사례를 초월하여 장 이론과 끈 이론에 적용 가능한 일반적인 p진수 분해 프레임워크를 제안하기 위해.

제안 방법

• 스chrödinger 방정식에서 표준 도함수 대신 p진수 도함수의 대응물인 바르드미로프 도함수를 사용하여 p진수 양자역학을 정의한다.
• 실수 도함수와 실수 계수를 p진수 노름으로 대체함으로써 p진수 양자역학의 해를 실수 자유입자 해밀토니안으로 재구성한다.
• 2차원 유클리드 중력에서 시공간의 유한자리 대응물로 SL2(Qp) 브라하트-티츠 트리를 사용하며, 분할 함수가 일치함을 확인한다.
• 로렌츠형 AdS2를 모델링하기 위해 Qp(√τ)의 이차 확장을 도입하며, 균일한 간선 길이와 평균 연산자를 통한 정의된 곡률을 갖는 트리를 사용한다.
• 분할 함수 일치성의 맥락에서 p진수와 아르키메데스 구조를 연결하기 위해 아델스 위의 곱공식과 부호 문자를 적용한다.
• p진수 트리 위에서 선형화된 아인슈타인 방정식을 사용하여 연속체 근사에서 해당 아르키메데스 방정식을 재현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수에서의 전통적 양자역학이 바르드미로프 도함수와 p진수 노름을 사용하여 p진수 양자이론으로부터 재구성될 수 있는가?
• RQ2 아르키메데스 시공간에서의 2차원 유클리드 중력의 분할 함수가 브라하트-티츠 트리 위의 p진수 이론과 일치하는가?
• RQ3 로렌츠형 AdS2 중력은 p진수 체의 이차 확장을 통해 모델링될 수 있으며, 그에 대응하는 트리가 유한자리 시공간의 대응물로 기능하는가?
• RQ4 p진수 트리 위에서 선형화된 아인슈타인 방정식이 연속체 근사에서 재현되는 일관된 곡률 및 작용 형식이 존재하는가?
• RQ5 실수 다양체와 p진수 빌딩의 대칭군이 진공 상태에서 일치하는가? 이는 더 깊은 이중성의 가능성을 시사하는가?

주요 결과

• 바르드미로프 도함수와 p진수 노름으로 구성된 p진수 자유입자 양자역학은 표준 실수 자유입자 이론을 성공적으로 재구성한다.
• 아르키메데스 시공간에서의 2차원 유클리드 중력의 분할 함수는 SL2(Qp) 브라하트-티츠 트리 위의 p진수 이론과 일치하며, 이는 분해의 정당성을 확인한다.
• SL2(Qp[√τ])의 이차 확장 브라하트-티츠 트리는 로렌츠형 AdS2의 유한자리 대응물로 제안되며, 곡률과 작용 구조가 일치한다.
• p진수 트리 위의 평균 연산자는 연속체 근사에서 선형화된 아인슈타인 방정식을 재현하는 일관된 곡률 정의를 제공한다.
• 진공 상태의 대칭군은 실수 다양체와 p진수 빌딩 간에 유지되며, 이는 두 이론 간의 이중성을 지지한다.
• 아델스 위의 곱공식, 특히 부호 함수의 오일러 곱공식을 포함하여, p진수와 아르키메데스 구조 사이에 엄밀한 다리를 제공하며, 특히 분할 함수와 정규화 인자 맥락에서 유의미하다.