[논문 리뷰] Building Cantor's Bijection

Samuel Nicolay, Laurent Simons|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 28.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 코너의 원래 비전수적인 소수 기반 매핑을 수정하여 셰로더-버나이스타인 정리를 사용함으로써 단위 정사각형 [0,1]²과 단위 구간 [0,1] 사이의 전단사 사상(역사상)을 구축한다. 코너의 함수 𝒞는 소수 전개의 유일성 문제로 전수적이지 않기 때문에 실패한다. 저자들은 이 함수의 결함을 반복적인 삽입 기반 정밀 조정을 통해 영집합에서 수정함으로써, 거의 전부에서 𝒞와 일치하는 새로운 전단사 사상 f*를 정의한다. 이로써 정사각형과 구간 사이의 완전한 전단사 대응이 성립한다.

ABSTRACT

Cantor's first idea to build a one-to-one mapping from the unit interval to the unit square did not work since, as pointed out by Dedekind, the so-obtained function is not surjective. Here, we start from this function and modify it (on a negligible set) in order to obtain the desired result: a one-to-one correspondance between the unit interval and the unit square.

연구 동기 및 목표

• 소수 자릿수를 교차시켜 [0,1]²와 [0,1] 사이의 전단사 사상을 구성하려는 코너의 원래 시도를 해결하기 위해.
• 코너의 소수 기반 함수 𝒞가 비표준 소수 전개로 due to non-proper decimal expansions로 전수적이지 않다는 데디킨드의 비판을 다루기 위해.
• 셰로더-버나이스타인 정리를 사용하여 단위 정사각형에서 단위 구간으로의 완전한 전단사 매핑을 구성하기 위해.
• 구조적으로 거의 전부에서 그대로 유지하면서도 결함이 있는 부분에서만 명시적이고 구조화된 수정을 가하는 구조적 전단사 사상을 제공하기 위해.

제안 방법

• x와 y의 적절한 소수 전개를 사용하여 [0,1]² → [0,1]로의 단사 사상 f: [0,1]² → [0,1]을 정의하며, 경계점(x=1 또는 y=1)에 대한 특수 처리를 포함한다.
• g(t) = (t, 0)을 통해 역방향 단사 사상 g: [0,1] → [0,1]²를 정의하여 단사성을 확보한다.
• 셰로더-버나이스타인 정리를 적용하기 위해, A₀ = [0,1]×(0,1]과 B₀ = f(A₀)에서 시작하여 [0,1]²와 [0,1]의 부분집합인 수열 (Aₙ)과 (Bₙ)을 정의한다.
• n ≥ 1일 때 Aₙ = g(Bₙ₋₁)와 Bₙ = f(Aₙ)로 반복적으로 정의함으로써, 단사 사상의 이미지 체인을 포착한다.
• 최종 전단사 사상 f*는 (x,y) ∈ ⋃ₙ Aₙ이면 f*(x,y) = f(x,y), 그렇지 않으면 f*(x,y) = x로 정의하여 전단사성을 보장한다.
• 수정된 집합, 즉 f*가 f와 다를 경우, [0,1]×{0}에 포함되며 이는 ℝ²에서 르베그 영집합이므로 f* = f 거의 전부에서 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코너의 원래 소수 기반 교차 매핑 함수는 [0,1]²와 [0,1] 사이의 진정한 전단사 사상으로 수정될 수 있는가?
• RQ2 코너의 초기 함수가 왜 전수적이지 않은지, 그리고 이 실패는 어떻게系통적으로 수정될 수 있는가?
• RQ3 한쪽 단사 사상이 전수적이지 않더라도, 셰로더-버나이스타인 정리를 구조적으로 적용하여 명시적인 전단사 사상을 구성할 수 있는가?
• RQ4 수정된 전단사 사상이 원래 소수 교차 매핑 함수와 다를 집합의 측도론적 크기는 얼마인가?
• RQ5 수정 집합의 구조는 소수 전개 패턴 측면에서 어떻게 명시적으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• f*(x,y) = f(x,y) if (x,y) ∈ ⋃ₙ Aₙ이고, 그렇지 않으면 f*(x,y) = x로 정의된 함수 f*는 [0,1]²에서 [0,1]로의 잘 정의된 전단사 사상이다.
• f*가 원래 함수 𝒞와 다를 집합은 [0,1]×{0}에 포함되며, 이는 ℝ²에서 르베그 측도가 0이므로 f* = 𝒞 거의 전부에서 성립한다.
• 수정 집합은 명시적으로 Aₙ에 속하지 않는 점 (x,y)로 식별되며, 이는 정확히 y=0 이고 x가 g에 의한 어떤 Bₙ의 이미지에도 속하지 않는 점들이다.
• 수열 (Aₙ)과 (Bₙ)은 f와 g를 반복적으로 적용하여 엄밀히 정의되며, Aₙ = g(Bₙ₋₁)와 Bₙ = f(Aₙ)로 구성되어 집합의 감소 체인을 이룬다.
• f*는 ⋃ₙ Aₙ에서 f의 전단사 이미지와 보완 집합에서 g⁻¹의 전단사 이미지를 조합함으로써 단사성과 전수성을 만족하므로, 셰로더-버나이스타인 정리의 조건을 충족한다.
• 최종 매핑 f*는 코너의 소수 교차 매핑의 직관적 구조를 유지하면서도, 영집합에서 최소한이고 잘 기술된 수정을 통해 전수성 결함을 해결한다.