[논문 리뷰] Bulk Geometry of the Many Body Localized Phase from Wilson-Wegner Flow

Xiongjie Yu, David Pekker외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 24.

Quantum many-body systems인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 윌슨-웨그너 유한차분 군 흐름(TWWF)을 텐서 네트워크로 구현하여 다체 국소화(MBL) 해밀토니안을 대각화하는 유니터리 텐서 네트워크(UTN)를 구축한다. UTN의 잠재적 부피 기하구조는 깊이에 따라 둘레가 지수적으로 감소하며, 공간적으로 떨어진 점들이 분리되는 '조각난 사건의 경계'도식을 지지한다. 또한 빛의 원추는 로그 스케일로 확장되어 국소화된 동역학을 나타낸다.

ABSTRACT

Tensor networks are a powerful formalism for transforming one set of degrees of freedom to another. They have been heavily used in analyzing the geometry of bulk/boundary correspondence in conformal field theories. Here we develop a tensor-network version of the Wilson-Wegner Renormalization Group Flow equations to efficiently generate a unitary tensor network which diagonalizes many-body localized Hamiltonians. Treating this unitary tensor network as a bulk geometry, we find this emergent geometry corresponds to the shredded horizon picture: the circumference of the network shrinks exponentially with distance into the bulk, with spatially distant points being largely disconnected.

연구 동기 및 목표

• 다체 국소화 해밀토니안을 대각화하기 위한 수치적으로 효율적인 텐서 네트워크 방법을 개발하기 위해.
• 윌슨-웨그너 흐름에서 유도된 유니터리 텐서 네트워크를 사용하여 MBL 상을 부피 기하구조로 매핑하기 위해.
• 특히 공간적 연결성과 연산자 전파를 고려하여 MBL 상에서 나타나는 잠재적 부피의 기하학적 구조를 조사하기 위해.
• MBL 상의 기하학적 특성과 허브로지컬 시스템 및 비에르고딕 상의 특성을 비교하기 위해.

제안 방법

• 텐서 윌슨-웨그너 흐름(TWWF)은 유한한 깊이 파라미터 β를 따라 연속적인 유니터리 변환으로 표현된 행렬 곱 연산자로 구성된 스택으로 구현된다.
• 각 변환 dU(β)는 해밀토니안을 점진적으로 대각화하며, l-비트(τᶻ)를 p-비트(σᶻ)로 변환하는 유니터리 진동을 통해 작용한다.
• 전체 유니터리 텐서 네트워크 U(β)는 이러한 유한한 흐름을 조합하여 구성되며, β는 반경 방향 깊이에 대응한다.
• 기하학적 특성은 텐서의 변동 차원과 네트워크를 통과하는 연산자 전파 속도를 측정하여 탐색된다.
• 빛의 원추 충돌은 변환된 연산자 σˣₖσˣ₂₃의 변동 차원을 β에 따라 추적하여 분석된다.
• 네트워크의 둘레는 β에 따라 측정되며, MBL 상에서 지수 감쇠가 관측된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니터리 텐서 네트워크가 윌슨-웨그너 흐름을 통해 유도된 MBL 상의 부피 기하구조는 어떻게 나타나는가?
• RQ2 MBL 상에서 나타나는 잠재적 부피의 공간적 연결성은 어떻게 되며, 비에르고딕 또는 허브로지컬 시스템과 어떻게 다를까?
• RQ3 양자 연산자는 부피를 어떻게 전파하며, 그 빛의 원추는 어떤 스케일링을 보이는가?
• RQ4 MBL에서 에르고딕 전이에 걸쳐 l-비트의 대각화 속도는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 유니터리 텐서 네트워크의 둘레는 유한차분 흐름 파라미터 β가 증가함에 따라 지수적으로 감소하며, MBL 상에서 조각난 사건의 경계 기하학을 나타낸다.
• 부피를 통과하는 연산자 전파 속도는 로그 스케일의 빛의 원추 확장을 따르며, 다체 국소화와 일치한다.
• 공간적으로 떨어진 연산자에서 유도된 빛의 원추는 β ∝ log(d)에서 충돌하며, 느린 국소화된 동역학을 확인한다. 여기서 d는 초기 분리 거리이다.
• MBL 상에서는 l-비트가 유니터리 흐름 깊이에 대해 지수적으로 대각화되지만, 에르고딕 상에서는 큰 β에서만 대각화가 발생한다.
• 유니터리 흐름의 변동 차원은 시스템 크기 증가에 따라 느리게 증가하며, MBL 스펙트럼의 변분 대각화 가능성에 기여한다.
• 다양한 불순도 실현과 시스템 크기(L=16,32)에 걸쳐 부피 기하학은 안정적이며, 둘레의 지수 감쇠가 관측된다.