[논문 리뷰] $C^0$ discontinuous Galerkin finite element methods for second order linear elliptic partial differential equations in non-divergence form

Xiaobing Feng, Lauren Hennings외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 12.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속 계수를 가진 비발산형(second-order linear elliptic PDEs in non-divergence form)에 대해 $C^0$ 불연속 갈레르킨 유한요소법을 제안한다. 비대칭이고 PDE에 의해 유도된 이차형식에 내부 페널티 항을 통합함으로써, 다항식 차수 $k \geq 2$에 대해 이산 $W^{2,p}$ 노름에서 최적 수렴성을 확보하였으며, 이는 이산 캘러존-지그문트 추정과 이산 수준에서 강한 해 기법을 모방함으로써 증명되었다.

ABSTRACT

This paper is concerned with finite element approximations of $W^{2,p}$ strong solutions of second-order linear elliptic partial differential equations (PDEs) in non-divergence form with continuous coefficients. A nonstandard (primal) finite element method, which uses finite-dimensional subspaces consisting globally continuous piecewise polynomial functions, is proposed and analyzed. The main novelty of the finite element method is to introduce an interior penalty term, which penalizes the jump of the flux across the interior element edges/faces, to augment a nonsymmetric piecewise defined and PDE-induced bilinear form. Existence, uniqueness and error estimate in a discrete $W^{2,p}$ energy norm are proved for the proposed finite element method. This is achieved by establishing a discrete Calderon-Zygmund-type estimate and mimicking strong solution PDE techniques at the discrete level. Numerical experiments are provided to test the performance of proposed finite element method and to validate the convergence theory.

연구 동기 및 목표

• 비발산 구조가 없어 전통적인 갈레르킨 방법이 실패하는 비발산형 타원형 PDE에 대해 안정적이고 수렴하는 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 계수 행렬 $A$가 미분 가능하지 않지만 연속일 경우, $W^{2,p}$ 강한 해를 근사하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 전역적으로 연속적인 조각다항식을 사용하는 원시 유한요소 방법을 설계하여, 표준 FEM 소프트웨어에서 간편하고 구현 가능한 방법을 확보하기 위해.
• PDE 수준의 강한 해 기법을 이산 수준에서 모방하는 새로운 이산 안정성 추정을 통해 이산 $W^{2,p}$ 에너지 노름에서 최적 수렴률을 확립하기 위해.
• 매끄럽고, 균일 연속적이며, 열화된 계수를 가진 문제들에 대해 수치적으로 검증하여 이론적 가정을 초월한 수렴성도 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 다항식 차수 $k \geq 2$인 전역적으로 연속적인 조각다항식의 $C^0$ 유한요소 공간을 사용하는 원시 형식을 채택한다.
• 비대칭 이차형식이 구성되며, PDE에 의해 유도된 항과 요소 경계에서의 유량 점프를 페널티하는 내부 페널티 항을 포함한다.
• 내부 페널티 항은 기울기의 약한 연속성을 강제하여, 내부 페널티 DG 방법의 특징을 모방하면서도 이산 해의 $C^0$ 연속성을 유지한다.
• 이산 캘러존-지그문트 유형 추정을 통해 안정성과 수렴성을 확립하였으며, 국소 이산화를 일정 계수의 발산형 연산자의 페르터베이션으로 간주함으로써 유도되었다.
• 분석은 비발산형에서 국소 안정성과 전역 가르딩형 부등식을 포함한 PDE 이론의 강한 해 기법을 따르며, 특히 비발산형에서의 특성에 초점이 맞춰져 있다.
• 표준 유한요소 소프트웨어를 사용하여 구현되었으며, 이차형식은 요소 단위로 조립되고, 안정성을 확보하기 위해 페널티 계수를 선택하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 계수를 가진 비발산형 타원형 PDE에 대해 안정적이고 수렴하는 $C^0$ 유한요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비대칭이고 PDE에 의해 유도된 이차형식에 내부 페널티 항을 도입하면 이산 $W^{2,p}$ 노름에서 최적 수렴성이 달성되는가?
• RQ3 비발산형 PDE에 대해 이산 캘러존-지그문트 추정을 확립할 수 있는가? 이는 강한 해의 안정성 이론을 모방하기 위함이다.
• RQ4 이론적 수렴 보장이 없더라도, 비균일 타원형 또는 열화된 계수를 가진 문제에 대해 이 방법이 강건한가?
• RQ5 다양한 다항식 차수와 문제 유형에서 $H^1$ 및 조각다항식 $H^2$ 오차에 대해 실질적으로 관측되는 수렴 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 $C^0$ DG 유한요소 방법은 준균일 메esh에서 다항식 차수 $k \geq 2$에 대해 이산 $W^{2,p}$ 노름에서 최적 수렴성을 확보한다.
• 수치 실험 결과, $|u - u_h|_{H^1( Omega)} = \mathcal{O}(h^k)$ 및 $\|D_h^2(u - u_h)\|_{L^2( Omega)} = \mathcal{O}(h^{k-1})$임을 확인하였으며, 이는 매끄러운 문제에 대한 이론적 예측과 일치한다.
• 해가 $W^{2,p}$이고 $p < 8/5$인 문제에 대해, $k \geq 2$일 때 조각다항식 $H^2$ 노름에서 수렴 속도가 $\mathcal{O}(h^{3/4 - \varepsilon})$로 관측되었으며, 이는 이론과 일치한다.
• 행렬 $\det(A) = 0$인 열화된 계수 행렬에 대해서도 방법은 $\|u - u_h\|_{L^2} = \mathcal{O}(h^{4/3})$ 및 $|u - u_h|_{H^1} = \mathcal{O}(h^{5/6})$의 관측 수렴 속도를 보이며, 이는 현재 이론을 초월한 강건성을 시사한다.
• $H^1$ 오차는 최적의 순서 $\mathcal{O}(h^k)$로 수렴하며, 다항식 차수 $k=1$인 조각다항식 경우에도 수렴은 유지되지만, 최적 속도는 $k \geq 2$일 때에만 증명되었다.
• 이 방법은 구조적으로 단순하며, 계산적으로 효율적이며 표준 유한요소 소프트웨어와 호환되어 간편한 구현이 가능하다.