[논문 리뷰] C^0-generic properties of boundary operators in Novikov Complex

Andrei Pajitnov|arXiv (Cornell University)|1998. 12. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 원환면 값 모어스 함수를 가진 다양체 위의 C^0-일반적인 기울기 벡터장에 대해, 원래 라우렌트 다항식 위에서 정의된 노비코프 복합체가 유리 함수의 환 위에서 실현될 수 있음을 밝힌다. 새로운 모어스 이론적 하네스 분해와 기울기 강하 사상에 대한 연속적인 대수적 모델을 사용하여, 저자는 노비코프 복합체의 경계 연산자가 일반적으로 유리 함수임을 증명하며, 이는 복합체의 대수적 구조를 크게 단순화시킨다.

ABSTRACT

One of the basic objects in the Morse theory of circle-valued maps is Novikov complex - an analog of the Morse complex of Morse functions. Novikov complex is defined over the ring of Laurent power series with finite negative part. The main aim of this paper is to present a detailed and self-contained exposition of the author's theorem saying that C^0-generically the Novikov complex is defined over the ring of rational functions. The paper contains also a systematic treatment of the topics of the classical Morse theory related to Morse complexes (Chapter 2). We work with a new class of gradient-type vector fields, which includes riemannian gradients. In Ch.3 we suggest a purely Morse-theoretic (not using triangulations) construction of small handle decomposition of manifolds. In the Ch.4 we deal with the gradients of Morse functions on cobordisms. Due to the presence of critical points the descent along the trajectories of such gradient does no define in general a continuous map from the upper component of the boundary to the lower one. We show that for C^0-generic gradients there is an algebraic model of "gradient descent map". This is one of the main tools in the proof of the main theorem (Chapter 5). We give also the generalizations of the result for the versions of Novikov complex defined over completions of group rings (non commutative in general).

연구 동기 및 목표

• 원환면 값 모어스 함수에 대한 노비코프 복합체의 경계 연산자의 일반적인 대수적 구조를 이해하기 위해.
• C^0-위상에서 일반적으로, 노비코프 복합체가 라우렌트 다항식 대신 유리 함수의 환 위에서 정의됨을 확립하기 위해.
• 삼각형 분할에 의존하지 않고 순수하게 모어스 이론적 방법으로 작은 하네스 분해를 구성하기 위해.
• 비판점으로 인해 궤적이 연속적이지 않기 때문에, 코버디즘에서 기울기 강하 사상에 대한 연속적인 대수적 모델을 정의하기 위해.
• 비가환 군환의 완비화 위에서의 노비코프 복합체로 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 유리기하 기울기, Riemann 기울기 등 포함하는 새로운 기울기 유형의 벡터장 클래스를 도입하여 유동 행동 분석을 용이하게 한다.
• 삼각형 분할을 피하는 순수 모어스 이론적 기법을 사용해 다양체의 작은 하네스 분해를 구성한다.
• 비판점이 존재하는 코버디즘에서의 기울기 유동을 분석하며, 기존의 강하 사상이 연속적이지 않은 경우를 다룬다.
• C^0-일반적인 기울기에 대해 연속적이고 잘 정의된 기울기 강하 사상의 대수적 모델을 개발한다.
• 이 모델을 적용하여 노비코프 복합체의 경계 연산자가 일반적으로 유리 함수임을 보인다.
• 결과를 비가환 군환의 완비화 위에서의 노비코프 복합체로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노비코프 복합체가 라우렌트 다항식에서 유리 함수로 단순화되는 일반 조건은 무엇인가?
• RQ2 비판점이 존재하는 코버디즘에서 기울기 강하 사상에 대한 연속적인 대수적 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ3 삼각형 분할 없이 순수 모어스 이론적 방법으로 다양체의 작은 하네스 분해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 C^0-일반적인 기울기 벡터장은 노비코프 복합체의 경계 연산자의 대수적 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 주요 결과는 비가환 군환 완비화 위에서 정의된 노비코프 복합체로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• C^0-일반적인 기울기 벡터장에 대해, 노비코프 복합체의 경계 연산자는 라우렌트 다항식 뿐 아니라 유리 함수의 환 위에서 정의된다.
• 비판점이 존재하더라도, C^0-일반적인 기울기에 대해 기울기 강하 사상의 대수적 모델은 연속적이고 잘 정의된다.
• 삼각형 분할을 사용하지 않고 순수 모어스 이론적 방법으로 작은 하네스 분해를 성취하였다.
• 유리 함수의 환 위에서의 노비코프 복합체는 원환면 값 모어스 함수의 본질적인 위상정보를 더 다룰 수 있는 대수적 형태로 잘 포착한다.
• 결과는 비가환 군환의 완비화 위에서의 노비코프 복합체로 일반화되어 더 넓은 대수적 맥락으로의 적용 가능성을 확장한다.
• 증명은 C^0-위상에서 일반적으로 성립하는 기울기 유동에 대한 연속적인 대수적 모델의 존재에 의존한다.