[논문 리뷰] C 1 , 1 regularity for degenerate elliptic obstacle problems in mathematical finance

Panagiota Daskalopoulos, Paul M. N. Feehan|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 금융수학 모델링에서 확률적 변동성 모델링의 핵심이 되는 열화된 타원형 헤스톤 연산자를 포함하는 고장 문제의 해에 대해 경계까지 최적의 $C^{1,1}$ 정칙성을 확립한다. 가중 치수 소볼레프 및 하올더 공간을 사용하여, 충분히 매끄러운 고장 함수가 영구적 미국형 복권의 가치 함수에 대해 $C^{1,1}$-정칙성을 유도함을 증명한다.

ABSTRACT

The Heston stochastic volatility process is a degenerate diffusion process where the degeneracy in the diffusion coefficient is proportional to the square root of the distance to the boundary of the half-plane. The generator of this process with killing, called the elliptic Heston operator, is a second-order, degenerate-elliptic partial differential operator, where the degeneracy in the operator symbol is proportional to the distance to the boundary of the half-plane. In mathematical finance, solutions to the obstacle problem for the elliptic Heston operator correspond to value functions for perpetual American-style options on the underlying asset. With the aid of weighted Sobolev spaces and weighted Holder spaces, we establish the optimal $C^{1,1}$ regularity (up to the boundary of the half-plane) for solutions to obstacle problems for the elliptic Heston operator when the obstacle functions are sufficiently smooth.

연구 동기 및 목표

• 수학적 금융에서 열화된 타원형 헤스톤 연산자와 관련된 고장 문제의 해에 대해 최적의 정칙성을 확립하는 것.
• 반평면 경계에서 확산 계수의 소멸으로 인한 경계 열화 문제에 대응하는 것.
• 금융 파생상품 가격 정책에서 나타나는 열화된 타원형 연산자에 대한 고전적 정칙성 이론을 확장하는 것.
• 확률적 변동성 하에서 영구적 미국형 옵션 가격 정책의 가치 함수의 매끄러움에 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.
• 최적의 $C^{1,1}$ 정칙성을 경계까지 보장함으로써 이론적 편미분방정식 분석과 실용적 금융 모델링 사이의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 헤스톤 연산자의 열화 특성에 맞게 조정된 가중 치수 소볼레프 공간을 사용하여, 경계로부터의 거리의 제곱근 비례로 스케일링되는 구조를 활용한다.
• 반평면의 열화된 경계 근처에서 해의 행동을 제어하기 위해 가중 하올ader 공간을 활용한다.
• 두 번째 차수의 열화된 타원형 미분 연산자로서, 경계에서의 타원성 열화가 경계로부터의 거리 비례로 발생하는 타원형 헤스톤 연산자를 분석한다.
• 열화된 타원형 편미분방정식 이론의 기법을 적용하여 고장 문제의 해에 대한 정칙성 결과를 확립한다.
• 연산자의 구조와 고장 함수의 매끄러움을 활용하여 경계까지 $C^{1,1}$ 정칙성을 확보한다.
• 죽음 항이 있는 헤스톤 과정의 생성자를 사용하여 고장 문제를 모델링함으로써 확률 과정과 편미분방정식을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열화된 타원형 헤스톤 연산자를 포함하는 고장 문제의 해에 대해 최적의 정칙성 클래스는 무엇인가?
• RQ2 경계로부터의 거리의 제곱근 비례로 열화되는 헤스톤 연산자의 특성은 해의 정칙성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 고장 함수가 충분히 매끄럽다면, 경계까지 $C^{1,1}$ 정칙성이 달성될 수 있는가?
• RQ4 열화된 헤스톤 연산자의 열화를 다루고 경계 정칙성을 증명하기 위해 필요한 함수 공간 프레임워크는 무엇인가?
• RQ5 가중 치수 소볼레프 및 하올더 공간은 금융에서 발생하는 열화된 타원형 편미분방정식의 경계 행동 분석을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 반평면의 경계까지 타원형 헤스톤 연산자에 대한 고장 문제의 해는 최적의 $C^{1,1}$ 정칙성을 달성한다.
• $C^{1,1}$ 정칙성은 고장 함수가 충분히 매끄럽다는 가정 하에 확립된다.
• 경계로부터의 거리의 제곱근 비례로 열화되는 헤스톤 연산자의 특성은 가중 함수 공간을 통해 다뤄진다.
• 가중 치수 소볼레프 및 하올더 공간은 열화된 타원형 편미분방정식의 경계 정칙성을 증명하는 데 필수적인 도구이다.
• 결과는 헤스톤 모델 하에서 영구적 미국형 옵션의 가치 함수가 경계까지 $C^{1,1}$-매끄럽다는 것을 확인한다.
• 분석은 헤스톤 연산자의 구조가 경계 열화가 있음에도 불구하고 날카운 정칙성 추정을 가능하게 한다는 것을 확인한다.