[논문 리뷰] $C^{1,\alpha}$ regularity for the normalized $p$-Poisson problem

Amal Attouchi, Mikko Parviainen외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점근적 및 약한 방법을 사용하여 $Ω \subset \mathbb{R}^n$ 내에서 정규화된 $p$-포아송 방정식 $-\Delta_p^N u = f$ 의 점성해에 대해 $C^{1,\beta}$ 정칙성을 확립한다. $f \in L^\infty \cap C$ 이면 해는 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}$ 이며 $\alpha > 0$; $p > 2$ 이고 $f \in L^q \cap C$ 이며 $q > \max(n, p/2, 2)$ 이면 거의 최적의 $C^{1,\alpha_0 - \xi}$ 정칙성이 달성되며, 여기서 $\alpha_0$ 는 $p$-조화함수에 대한 최적의 지수이다.

ABSTRACT

We consider the normalized $p$-Poisson problem $$-\\Delta^N_p u=f \\qquad \ ext{in}\\quad \\Omega.$$ The normalized $p$-Laplacian $\\Delta_p^{N}u:=|D u|^{2-p}\\Delta_p u$ is in non-divergence form and arises for example from stochastic games. We prove $C^{1,\\alpha}_{loc}$ regularity with nearly optimal $\\alpha$ for viscosity solutions of this problem. In the case $f\\in L^{\\infty}\\cap C$ and $p>1$ we use methods both from viscosity and weak theory, whereas in the case $f\\in L^q\\cap C$, $q>\\max(n,\\frac p2,2)$, and $p>2$ we rely on the tools of nonlinear potential theory.

연구 동기 및 목표

• 정규화된 $p$-포아송 방정식 $-\Delta_p^N u = f$ 의 점성해에 대해 국소적 $C^{1,\alpha}$ 정칙성을 확립하는 것.
• 기본 이론에서 유도되는 기울기의 허더 연속성 이외의 정칙성 결과를 넘어서, 비발산형 및 기울기 의존성의 특징을 고려한 새로운 방법을 개발하는 것.
• 적절한 적분성 및 연속성 조건 하에서, $p$-조화함수에 대한 알려진 최적 지수 $\alpha_0$ 에 가까운 거의 최적의 허더 정칙성을 기울기에 도달하는 것.
• 특히 $p > 2$ 이고 $f \in L^q$ 이며 $q > \max(n, p/2, 2)$ 이면, 점성해 기법과 약한 해 이론, 비선형 잠재이론 추정치를 통합하는 것.

제안 방법

• 수정된 정규화된 $p$-포아송 방정식에 대해 평탄함 향상 기법을 사용한 후 반복 정밀화를 통해 $C^{1,\alpha}$ 정칙성을 확립한다.
• $p > 1$ 이고 $f \in L^\infty \cap C$ 이면, 점성이론과 약한 해 추정치를 결합하여 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}$ 정칙성을 보인다.
• $p > 2$ 이고 $f \in L^q \cap C$ 이며 $q > \max(n, p/2, 2)$ 이면, Duzaar와 Mingione [DM10] 의 잠재이론 추정치를 적용하여 진동을 제어하고 정칙성을 도출한다.
• 근사 기법에 의존하여, 기울기가 작을 경우 점성해가 $C^{1,\alpha}$ 노름에서 $p$-조화함수로 근사 가능함을 보인다.
• 스케일링과 반복을 사용하여 진동 추정치를 도출하며, 특히 $|Du|$ 가 작을 경우의 영역에서 중점을 둔다.
• 해의 유일성과 안정성을 증명하기 위해 점성 하부해 및 상부해에 대한 합의 정리(theorem of sums)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $f$ 가 유계이면서 연속일 경우, 정규화된 $p$-포아송 방정식의 점성해에 대해 $C^{1,\alpha}$ 정칙성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 $f$ 의 적분성이 낮을 경우, 즉 $p > 2$ 이고 $f \in L^q$ 이며 $q > \max(n, p/2, 2)$ 이면 어떤 정칙성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 정규화된 $p$-포아송 방정식의 해의 정칙성은 알려진 $p$-조화함수의 최적 지수 $C^{1,\alpha_0}$ 에 가까운가?
• RQ4 점성해 이론을 약한 해 이론과 잠재이론 추정치와 어떻게 융합하여, 정규화된 $p$-라플라스 연산자의 비발산형 및 기울기 의존성 문제를 다룰 수 있는가?

주요 결과

• $p > 1$ 이고 $f \in L^\infty(\Omega) \cap C(\Omega)$ 이면, $-\Delta_p^N u = f$ 의 임의의 점성해 $u$ 는 어떤 $\alpha = \alpha(p,n) > 0$ 에 대해 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ 에 속하며, $p$, $n$, $\|u\|_{L^\infty}$, $\|f\|_{L^\infty}$ 에 따라 정량적인 허더 반노름 추정치를 가진다.
• $p > 2$ 이고 $f \in L^q(\Omega) \cap C(\Omega)$ 이며 $q > \max(n, p/2, 2)$ 이면, 점성해는 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ 에 속하며 $\alpha = \min(\alpha_0 - \xi, 1 - n/q)$ 이다. 여기서 $\alpha_0$ 는 $p$-조화함수에 대한 최적 지수이다.
• 정칙성 결과는 거의 최적이다: 임의의 $\xi \in (0, \alpha_0)$ 에 대해, 해는 $C^{1,\alpha_0 - \xi}_{\text{loc}}(\Omega)$ 에 속하며, $p$-조화함수에 대한 알려진 최적 지수에 가까워진다.
• 증명은 (1.1)의 점성해가 $-\Delta_p u = |Du|^{p-2}f$ 의 약한 해임을 보이며, 따라서 $p > 2$ 일 경우 기존의 비선형 편미분방정식 이론에 의해 $C^{1,\alpha}$ 정칙성을 상속함을 보여준다.
• 정량적 추정치를 제공한다: $[u]_{C^{1,\alpha}(\Omega'')} \leq C(p, q, n, d, d'', \|u\|_{L^\infty}, \|f\|_{L^q})$, 여기서 $d = \text{diam}(\Omega)$ 이고 $d'' = \text{dist}(\Omega^{\prime\prime}, \partial\Omega^\prime)$ 이다.
• 조건 $\lambda > 0$ 하에서, 하부해 및 상부해 방법과 합의 정리에 의해 연관된 타원형 문제에 대한 점성해의 유일성이 증명된다.