[논문 리뷰] C*algebras and differential geometry

Alain Connes|ArXiv.org|2001. 01. 15.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 10

한 줄 요약

이 획기적인 1980년 논문에서 알랭 콘느는 C*-대수와 리 군 작용을 사용하여 비가환 기하학의 기초 개념을 도입하며, 비가환 토러스 위의 유한 프로젝티브 모듈러에 대해 접속, 곡률 및 카라테오도리 특성의 연결을 수립한다. 확장된 아티야-식딩 지수 정리에 기반해 총 곡률의 정수성을 증명하며, 실수선 위의 유한 차수-미분 연산자의 지수는 정수 값을 가짐을 보이며, 이는 무리수 회전 대수 $A_\theta$에 응용된다.

ABSTRACT

This is the translation to appear in the "SUPERSYMMETRY 2000 - Encyclopaedic Dictionary" of the original paper, published in March 1980, (C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B, 290, 1980) in which basic notions of noncommutative geometry were introduced and applied to noncommutative tori. These include connections on finite projective modules, their curvature, and the Chern character. Finite projective modules on the noncommutative two-torus $ \Tb^2_θ$ were realized as Schwartz spaces of vector valued functions on $\Rb$. Explicit constant curvature connections were constructed and a basic integrality phenomenon of the total curvature was displayed. The pseudo-differential calculus and the Atiyah-Singer index theorems were extended to Lie group actions on $C^*$ algebras and used to explain the above integrality of the total curvature by an index formula for finite difference-differential operators on the line. Recent interest in the hep-th literature for basic notions of noncommutative geometry in the case of noncommutative tori (cf for instance hep-th/0012145 for an excellent review) prompted us to make the English translation of the original paper available.

연구 동기 및 목표

• 리 군 작용을 통한 C*-대수의 미분기하학적 프레임워크를 개발하여 접속과 곡률 등의 개념을 일반화한다.
• 특히 흐름과 토러스 작용을 포함한 교차곱품에 대해 C*-다이나믹스 시스템으로 아티야-식딩 지수 정리를 확장한다.
• 리 군 $G$의 왼쪽 불변 형식의 코homology로의 $K_0(A)$에서의 카라테오도리 특성 사상 수립.
• 지수 공식을 통한 비가환 토러스 $T^2_\theta$ 위의 유한 프로젝티브 모듈러의 총 곡률의 정수성 증명.
• $A_\theta$에 대해 이론을 적용하여 그 매끄러운 모듈러를 슈와르츠 공간으로 실현하고, 유한 차수-미분 연산자의 지수를 계산한다.

제안 방법

• 리 군 $G$에 대한 작용 $g \mapsto \alpha_g(x)$의 미분 가능성에 의해 $C^\infty$-클래스의 원소를 정의한다.
• 미분 가능한 원소들의 조밀한 $*$-부분대수 $A^\infty$를 구성하고, 자기수반 등급원 $e$에 대해 $eA^\infty$ 위의 모듈러로 $A^\infty$ 위의 유한 프로젝티브 모듈러를 실현한다.
• 유한 프로젝티브 $A^\infty$-모듈러 $\Xi^\infty$ 위의 접속 $\nabla$를 선형 사상으로 정의하며, 도함수 $\delta_X$에 대한 라이프니츠 법칙을 만족하는 $(\text{Lie } G)^*$로의 사상이다.
• 연결과의 호환성을 확보하기 위해 $\langle \xi, \eta \rangle = F^{-1}(\eta)^* F^{-1}(\xi)$를 통해 $\Xi^\infty$ 위에 호환성 있는 헤르미트 구조를 도입한다.
• 표준 헤르미트 형식과 호환되는 그라스만 접속 $\nabla_X^0(\xi) = e \delta_X(\xi)$를 모듈러 $eA^\infty$ 위에 구성한다.
• 교차곱품 $A \times_\alpha G$에 대해 아티야-식딩 지수 정리를 확장하며, 이중 추적을 정의하고 지수를 카라테오도리 특성과 루엘-수울리클 사이클과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군 작용을 갖는 비가환 C*-대수에 대해 접속과 곡률 등의 미분기하 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $K$-이론과 카라테오도리 특성의 역할은 비가환 설정에서 어떻게 되며, 이를 리 군의 코homology로 어떻게 매핑할 수 있는가?
• RQ3 특히 $\mathbb{R}^n$ 또는 $T^2$ 작용을 포함한 교차곱품에 대해 C*-다이나믹스 시스템으로 아티야-식딩 지수 정리는 어떻게 확장되는가?
• RQ4 비가환 토러스 $T^2_\theta$ 위의 유한 프로젝티브 모듈러의 총 곡률의 정수성은 무엇이며, 지수 공식으로 어떻게 설명되는가?
• RQ5 벡터 번들의 매끄러운 단면은 $A_\theta$에서 어떻게 슈와르츠 함수로 실현될 수 있으며, $A_\theta$는 그것들에 대해 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 비가환 토러스 $T^2_\theta$ 위의 유한 프로젝티브 모듈러의 매끄러운 단면 공간은 슈와르츠 공간 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$와 동형이며, $A_\theta^\infty$는 유한 차수 연산자로 작용한다.
• 연산자 $D_1 f = \frac{d}{dt}f$ 와 $D_2 f = \frac{2\pi i t}{\theta}f$ 를 사용해 상수 곡률 접속을 명시적으로 구성하였으며, 이로 인해 곡률는 $1/\theta$가 된다.
• 모듈러의 총 곡률는 $2\pi$의 정수배이며, 이 정수성은 유한 차수-미분 연산자에 대한 지수 공식으로 설명된다.
• 슈와르츠 공간 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 위의 유한 차수-미분 연산자 $P$의 지수는 정수 값을 가지며, 특정한 연산자 클래스에 대해 $1 + E(1/\theta)$의 명시적 공식이 제시된다.
• 교차곱품 $A_\theta \times T^2$ 위의 이중 추적 $\hat{\tau}$는 컴act 연산자 $\mathcal{K}$ 위의 표준 추적이며, $\hat{\tau} \circ \text{Ind}$는 정수 값을 가지며 정수성의 확인이 이루어진다.
• 흐름에 대한 지수 정리는 $\widehat{\tau} \circ \text{Ind}(D)$를 $\mathbb{R}^n$ 위의 부피 형식 $v$와의 쌍대화 $\langle \text{ch}_\tau(\sigma_D), v \rangle$로 계산하며, 고전적 지수 공식을 일반화한다.