[논문 리뷰] C*-algebras associated to topological Ore semigroups

S. Sundar|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최종 사영원소가 서로 가환하는 위상적 오어 반군의 등장비 표현에 대해 일반화된 군oids C*-대수를 구축한다. 보편 스펙트럼 $\Omega_u$에 대해 군oids $\Omega_u \rtimes P$를 정의함으로써, $C^*(\Omega_u \rtimes P)$에서 Wiener-Hopf 대수 $\mathcal{W}_V(P,G)$로의 전사 $*$-준동형사를 수립한다. 이는 코버너의 정리의 일반화이자, 단일 군oids 프레임워크 내에서 Wiener-Hopf 및 토플리츠 대수를 통합한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and $P \subset G$ be a closed Ore semigroup containing the identity element. Let $V: P o B(\clh)$ be a representation such that for every $a \in P$, $V_{a}$ is an isometry and the final projections of $\{V_{a}: a \in P\}$ commute. In this article, we study the $C^{*}$-algebra $\mathcal{W}_{V}(P,G)$, generated by $\{\int f(a)V_{a} da: f \in L^{1}(P)\}$. We show that there exists a universal $C^{*}$-algebra, which admits a groupoid description, of which $\mathcal{W}_{V}(P,G)$ is a quotient. If $P=G$, then this universal algebra is just $C^{*}(G)$.

연구 동기 및 목표

• 최종 사영원소가 가환하는 위상적 오어 반군에 대해 Wiener-Hopf 및 토플리츠 C*-대수를 일반화하기.
• 범위 사영원소가 가환하는 등장비 표현을 보편적으로 코딩하는 감소 C*-대수를 갖는 보편 군oids $\Omega_u \rtimes P$를 구축하기.
• 보편 군oids $\Omega_u \rtimes P$에서 Wiener-Hopf 대수 $\mathcal{W}_V(P,G)$로의 전사 $*$-준동형사를 수립하여 기존 결과를 연속적 상황으로 확장하기.
• 단일 군oids 구성으로 이산적 및 연속적 경우를 통합하기 위해, 사분면 및 실반직선 예시를 포함하기.

제안 방법

• Vietoris 위상으로 장비된, $P^{-1} \subset A$ 및 $P^{-1}A \subset A$ 를 만족하는 닫힌 부분집합 $A \subset G$들의 집합으로서 $\Omega_u$를 정의한다.
• 우측 곱셈에 의한 $P$의 오른쪽 작용을 $\Omega_u$에 부여하여, 반직접곱 군oids $\Omega_u \rtimes P$를 형성한다.
• Renault 및 Sims(2015)의 결과를 이용해 $\Omega_u \rtimes P$가 하어 시스템을 갖는다는 것을 보이며, 정규 표현의 존재를 보장한다.
• 함수 $f \in C_c(G)$에 대해 $\lambda(\widetilde{f}) = \int \Delta(g)^{-1/2} f(g) W_{g^{-1}} dg$ 로 정의된 표현 $\lambda: C^*(\Omega_u \rtimes P) \to B(\mathcal{H})$를 정의한다.
• $\lambda$의 상이 $\mathcal{W}_V(P,G)$를 생성함을 증명함으로써 보편성을 확립한다.
• 가환하는 최종 사영원소 $E_a = V_a V_a^*$의 구조를 이용해 스펙트럼 $\Omega$를 정의하고, 제약을 통해 $\Omega_u$와 관련지운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최종 사영원소가 가환할 경우, 위상적 오어 반군에 대한 Wiener-Hopf 대수는 군oids C*-대수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 모든 범위 사영원소가 가환하는 등장비 표현을 매개화하는 보편 군oids $\Omega_u \rtimes P$가 존재하는가?
• RQ3 보편 군oids $\Omega_u \rtimes P$는 어떻게 토플리츠 대수 및 고전적 Wiener-Hopf 대수를 일반화하는가?
• RQ4 모듈러 함수 $\Delta(g)$는 보편 표현 공식에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 군oids $\Omega_u \rtimes P$는 하어 시스템을 갖는가? 이는 잘 정의된 군oids C*-대수의 구성에 기여하는가?

주요 결과

• 군oids $\Omega_u \rtimes P$는 하어 시스템을 갖는 위상군oids이며, 이는 잘 정의된 정규 표현의 존재를 보장한다.
• $f \in C_c(G)$에 대해 $\lambda(\widetilde{f}) = \int \Delta(g)^{-1/2} f(g) W_{g^{-1}} dg$ 를 만족하는 전사 $*$-준동형사 $\lambda: C^*(\Omega_u \rtimes P) \to \mathcal{W}_V(P,G)$ 가 존재하며, 이는 기존 공식을 일반화한다.
• $\lambda$의 상이 $\mathcal{W}_V(P,G)$를 생성함을 증명함으로써, $C^*(\Omega_u \rtimes P)$가 최종 사영원소가 가환하는 등장비 표현에 대해 보편적임을 입증한다.
• $P = \mathbb{N}$ 인 경우 $\Omega_u \cong \mathbb{N}_\infty$ 이며, $C^*(\Omega_u \rtimes P)$는 토플리츠 대수와 동형이 되어 코버너의 정리를 복원한다.
• $P = \mathbb{R}_+$ 인 경우 $\Omega_u \cong [0,\infty]$, 이며 $C^*(\Omega_u \rtimes P)$는 고전적 Wiener-Hopf 대수와 동형이 된다.
• 이 구성은 Wiener-Hopf 대수가 $C^*(\Omega_u \rtimes P)$의 몫임을 보여주며, $\Omega_u$가 크고 명시적이지 않더라도 보편성 성질이 유지됨을 보여준다.