[논문 리뷰] C*-algebras associated with branched coverings

Valentin Deaconu, Paul S. Muhly|ArXiv.org|2001. 03. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 군oids와 Cuntz-Pimsner 대수의 프레임워크를 사용하여 분기 covering 사상으로부터 C*-대수를 구성한다. 동역학이 충분히 혼돈스러울 경우, 예를 들어 역행 궤도가 밀도를 이룰 때인 리만 구면 위의 유리 함수의 경우, 이 대수가 단순하고 순수 무한하다는 것을 보여준다. 여러 예제에 대해 K-이론을 계산하였으며, 그 중 하나는 K₀ ≅ ℤ² 및 K₁ ≅ ℤ를 갖는다.

ABSTRACT

In this note we analyze the C*-algebra associated with a branched covering both as a groupoid C*-algebra and as a Cuntz-Pimsner algebra. We determine conditions when the algebra is simple and purely infinite. We indicate how to compute the K-theory of several examples, including one related to rational maps on the Riemann sphere.

연구 동기 및 목표

• 분기 covering에 관련된 C*-대수의 정의 및 분석을 군oids와 Cuntz-Pimsner 대수의 구조를 통해 수행한다.
• 이 C*-대수가 단순하고 순수 무한해지는 조건을 규명하며, 특히 리만 곡면 위의 동역학 시스템의 맥락에서 이를 다룬다.
• 특정 분기 covering, 즉 유리 함수와 구간 접기 함수에 대해 이 C*-대수의 K-이론을 계산한다.
• 이전의 부분 호메오모르피즘과 Cuntz-Pimsner 대수에 대한 결과를 분기 covering 설정으로 일반화한다.
• 유리 함수의 동역학과 그에 대응하는 C*-대수의 구조적 성질 사이의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 부분적으로 정의된 국소 호메오모르피즘 T = σ|U에서 r-불연속 군oids Γ(X,σ)를 구성한다. 여기서 U는 비특이 집합이다.
• 군oids C*-대수 C*(Γ)로 C*-대수를 정의하며, 이는 A = C₀(X), E = C₀(U)인 C*-대응관계 (A,E) 위의 확장된 Cuntz-Pimsner 대수와 동형이다.
• ξf(x) = ξ(x)f(σ(x))로 오른쪽 A-모듈 구조를 정의하고, 내적 ⟨ξ,η⟩(x) = ∑_{σ(y)=x} ξ̄(y)η(y)를 정의한다.
• 위치 코ycle c: Γ → ℤ를 사용하여 코어 대수 C*(R₀) = C*(Γ₀)를 정의한다. 여기서 Γ₀는 c의 핵이다.
• I ≅ C₀(U ∩ σ(U))를 갖는 짧은 정확열 시퀀스 0 → I → C*(X,σ) → C*(R₀) → 0을 적용하여, 여섯 항목 정확열 시퀀스를 통해 K-이론을 계산한다.
• 역행 궤도의 밀도 및 조르드 집합의 최소성과 같은 동역학적 성질을 활용하여 단순성과 순수 무한성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분기 covering에 관련된 C*-대수가 단순하고 순수 무한해지는 동역학적 조건은 무엇인가?
• RQ2 군oids와 Cuntz-Pimsner 구성 방법을 통해 분기 covering에서 유도된 C*-대수의 K-이론을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 특이 집합의 성질과 사상 σ의 동역학이 관련된 C*-대수의 구조에 미치는 영향은 어느 정도인가?
• RQ4 Cuntz-Pimsner 대수의 프레임워크는 사상이 부분 호메오모르피즘이 아니더라도 일반적인 분기 covering에 적용 가능한가?
• RQ5 리만 구면 위의 유리 함수에 대응하는 C*-대수의 K-이론은 무엇인가, 특히 조르드 집합이 전체 구면일 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 구간 [0,1]에서 [0,1]로의 접기 사상 σ에 대해 관련 C*-대수는 K₀ ≅ ℤ² 및 K₁ ≅ 0을 갖는다. 이는 I ≅ C₀([0,1/2) ∪ (1/2,1))를 포함하는 정확열 시퀀스 때문이며.
• 리만 구면 위의 유리 함수 q(z) = ((z²+1)²)/(4z(z²−1))에 대해, C*-대수는 단순하고 순수 무한하다. 이는 정리 3.6과 3.7의 가정을 만족하기 때문이다.
• 이deo I ≅ C₀(𝕊² ∖ {±i, ±(√2±1), 0, ±1})의 K-이론은 여섯 항목 정확열 시퀀스와 몫 사상 j*에 기반하여 K₀(I) ≅ ℤ 및 K₁(I) ≅ ℤ⁸로 계산된다.
• 원판 커버링 σ: ℝ → 𝕊¹에 대응하는 C*-대수의 K₀ ≅ ℤ² 및 K₁ ≅ ℤ이며, K₁ 시퀀스에서의 영사상은 ℤ 위의 항등사상 빼기 항등사상에 기인한다.
• 모든 궤도가 밀도를 이룰 경우, 예를 들어 ℝ → 𝕊¹의 경우 C*-대수가 단순하다. 이는 비자명한 아이디얼이 존재하지 않기 때문이다.
• 이 구성은 이전의 부분 호메오모르피즘 결과를 일반화하며, 특이 집합이 공집일 경우 Exel과 Cuntz-Pimsner의 기존 예제도 회복된다.