[논문 리뷰] C*-algebras of Toeplitz type associated with algebraic number fields

Joachim Cuntz, Christopher Deninger외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 수체의 대수적 정수환 $R$와 관련된 C*-대수 $Τ[R]$를 도입한다. 이는 $ax+b$-반군 $R\rtimes R^\times$의 왼쪽 정규 표현을 통해 구성되며, 자연스러운 일파라미터 자동형사상군 $\sigma_t$를 수립하고, KMS 상태의 구조를 완전히 특성화한다. 비록 비자명한 환류군이 존재하여 KMS 단체가 이상류에 따라 분할되지만, 부분 디리클레 $\zeta$-함수를 분할 함수로 사용함으로써 $\beta \in (1,2]$ 에서 $\beta$-KMS 상태의 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

We associate with the ring $R$ of algebraic integers in a number field a C*-algebra $\cT[R]$. It is an extension of the ring C*-algebra $\cA[R]$ studied previously by the first named author in collaboration with X.Li. In contrast to $\cA[R]$, it is functorial under homomorphisms of rings. It can also be defined using the left regular representation of the $ax+b$-semigroup $R times R^ imes$ on $\ell^2 (R times R^ imes)$. The algebra $\cT[R]$ carries a natural one-parameter automorphism group $(σ_t)_{t\in\Rz}$. We determine its KMS-structure. The technical difficulties that we encounter are due to the presence of the class group in the case where $R$ is not a principal ideal domain. In that case, for a fixed large inverse temperature, the simplex of KMS-states splits over the class group. The "partition functions" are partial Dedekind $ζ$-functions. We prove a result characterizing the asymptotic behavior of quotients of such partial $ζ$-functions, which we then use to show uniqueness of the $β$-KMS state for each inverse temperature $β\in(1,2]$.

연구 동기 및 목표

• 수체의 대수적 정수환 $R$에 대해 $ax+b$-반군 $R\rtimes R^\times$의 왼쪽 정규 표현 $\ell^2(R\rtimes R^\times)$를 통해 C*-대수 $\mathfrak{T}[R]$를 구성하고, 이는 원래의 링 C*-대수 $\mathfrak{A}[R]$를 일반화한다.
• 반환형 사상에 대해 $\mathfrak{T}[R]$의 함자성(functoriality)을 확립하며, 이는 $\mathfrak{A}[R]$에서는 성립하지 않는 성질이다.
• 환 $R$가 비자명한 환류군을 가질 경우에도 자연스러운 일파라미터 자동형사상군 $\sigma_t$ 하에서 $\mathfrak{T}[R]$의 KMS 상태 구조를 분석한다.
• 부분 디리클레 $\zeta$-함수의 游근 분석을 통해 $\beta \in (1,2]$ 에서 $\beta$-KMS 상태의 유일성을 증명한다.

제안 방법

• 단위원 $u^x$와 등장사상 $s_a$를 만족하는 유일한 C*-대수 $\mathfrak{T}[R]$를 정의한다: $s_a u^x = u^{ax} s_a$ 이고, $\sum_{x \in R/aR} u^x s_a s_a^* u^{-x} \leq 1$ 이다.
• 비주어진 이상수환의 경우를 다루기 위해 이상수 $I$에 관련된 추가적인 사영원 $e_I$를 도입하여, 등장사상의 범위 사영원 간의 관계를 올바르게 보장한다.
• 비영인 이상수 $I$에 대해 $\bigsqcup R/I$의 완비화로 표현되는, $Y_R$라는 최대 아벨 부분대수의 겔판트 스펙트럼을 구성한다. 이는 환 포함 사상에 대해 반대변화적이다.
• 반군 표현의 게이지 작용에 의해 $\mathfrak{T}[R]$ 위에 일파라미터 자동형사상군 $\sigma_t$를 정의하며, 보스트-콘스 시스템과 유사하다.
• 이상류 $\gamma$에 따라 인덱싱된 KMS 상태의 분할 함수로 부분 디리클레 $\zeta$-함수 $\zeta^{(n)}_\gamma(s)$를 사용한다.
• 합분할 기법과 수체 내 소이상수 정리(Prime ideal theorem)를 적용하여 $\Omega_\gamma(x) = \sum_{N(P)\leq x, P\in\gamma} N(P)^{-\kappa}$ 의 游근 전개를 유도하며, 핵심 극한 $\lim_{n\to\infty} \zeta^{(n)}_\gamma(\sigma)/\zeta^{(n)}_\eta(\sigma) = 1$ 을 도출한다. 이는 모든 이상류 $\gamma, \eta$ 에 대해 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $ax+b$-반군 $R\rtimes R^\times$ 로부터 환 준동형사상에 대해 함자적인 C*-대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 환 $R$가 PID가 아닐 경우, 자연스러운 일파라미터 자동형사상군 하에서 $\mathfrak{T}[R]$의 KMS 상태의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 $R$의 환류군은 KMS 단체의 분할에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 다른 이상류에 대응하는 부분 디리클레 $\zeta$-함수의 몫의 游근 행동은 어떠한가?
• RQ5 비PID 경우에 $\beta \in (1,2]$ 에서 $\beta$-KMS 상태는 유일한가?

주요 결과

• 반환형 사상에 대해 $\mathfrak{T}[R]$는 환류군의 포함을 통해 $\mathfrak{A}[R]$와 달리 함자적이다.
• 최대 아벨 부분대수의 겔판트 스펙트럼 $Y_R$는 $\bigsqcup R/I$ 의 완비화이며, 환 포함 사상에 대해 반대변화적이다.
• 모든 $\beta \in (1,2]$ 에 대해 $\mathfrak{T}[R]$의 $\beta$-KMS 상태는 유일하다. 비록 $R$가 비자명한 환류군을 가질지라도 마찬가지이다.
• $\beta > 2$ 인 경우 KMS 단체가 환류군에 따라 분할되며, 분할 함수는 부분 디리클레 $\zeta$-함수 $\zeta^{(n)}_\gamma(s)$ 로 주어진다.
• 모든 이상류 $\gamma, \eta$ 에 대해 $\lim_{n\to\infty} \zeta^{(n)}_\gamma(\sigma)/\zeta^{(n)}_\eta(\sigma) = 1$ 이 성립하며, 이는 정규화된 분할 함수가 균일 수렴함을 의미한다.
• 증명은 고정된 이상류 내 소이상수에 대한 소수 정리와 $O(x/\log^2 x)$ 오차항을 포함하며, 합분할 기법을 통해 $\Omega_\gamma(x) \sim \frac{1}{h} \frac{x^{1-\kappa}}{\log x} + \frac{\kappa}{h} \int_2^x \frac{t^{-\kappa}}{\log t} dt + O\left(\frac{x^{1-\kappa}}{\log^2 x}\right)$ 를 도출한다. 이는 $\kappa < 1$ 인 경우 성립한다.