[논문 리뷰] $C^\ast$-simple groups without free subgroups

A. Yu. Olshanskii, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비자명한 $C^\ast$-단순군이 비순환 자유부분군을 가지지 않는 최초의 예를 구성하며, $m \geq 2$ 이고 충분히 큰 홀수 $n$ 에 대해 자유 버너비 군 $B(m,n)$ 의 축소된 $C^\ast$-대수 $C^\ast_{\text{red}}(B(m,n))$ 가 단순하고 유일한 추적을 가짐을 증명한다. 증명은 군 표현에서의 스펙트럴 반경 추정과 상대적으로 하이퍼볼릭 군의 극한에 기반하며, 자유부분군이 없는 상황에서의 $C^\ast$-단순성에 관한 데 라 하르프의 오랜 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We construct first examples of non-trivial groups without non-cyclic free subgroups whose reduced $C^\ast$-algebra is simple and has unique trace. This answers a question of de la Harpe. Both torsion and torsion free examples are provided. In particular, we show that the reduced $C^\ast$-algebra of the free Burnside group $B(m,n)$ of rank $m\ge 2$ and any sufficiently large odd exponent $n$ is simple and has unique trace.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 $C^\ast$-단순군이 비순환 자유부분군을 가지지 않을 수 있는지에 대한 데 라 하르프의 질문을 해결하기 위해.
• 자유 버너비 군 $B(m,n)$ 의 축소된 $C^\ast$-대수가 $m \geq 2$ 이고 큰 홀수 $n$ 에 대해 $C^\ast$-단순이고 추적 유일성을 확립하기 위해.
• 파워스 성질 또는 비순환 자유부분군을 가진 군 이외의 클래스로 $C^\ast$-단순군을 확장하기 위해.
• 강한 토르션 또는 토르션 없는, 비단순적이고 비자유인 구조를 가진 군에서도 $C^\ast$-단순성과 유일한 추적이 발생할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 군 대수의 원소의 노름을 왼쪽 정규 표현에서 제어하기 위해 스펙트럴 반경이 무한소인 군의 수열을 사용하기 위해.
• 상대적으로 하이퍼볼릭 군에서의 소규모 취소 및 데인 필링 기법을 적용하여 원하는 $C^\ast$-대수적 성질을 가진 극한을 구성하기 위해.
• 자리스터링 길이와 쌍대화 성장 분석을 위해 반 캄펜 다이어그램에서의 반발하는 섹션과 타워 구조를 활용하기 위해.
• 단위 행렬 공액과 스펙트럴 반경 추정을 통한 노름 감쇠를 확립하여, 극한에서 스펙트럴 반경이 0이 되게 하기 위해.
• 만약 공액합의 스펙트럴 반경이 0으로 수렴한다면, $C^\ast_{\text{red}}(G)$ 는 단순하고 유일한 추적을 가짐을 이용하기 위해.
• 스펙트럴 반경이 무한소인 군의 수열 $H_{g,i}$ 와 집합 $T_{g,i}$ 를 사용하여 상대적으로 하이퍼볼릭 군의 $C^\ast$-단순 극한을 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 $C^\ast$-단순군이 비순환 자유부분군을 가지지 않을 수 있는가?
• RQ2 질량 $m \geq 2$ 와 충분히 큰 홀수 지수 $n$ 을 가진 자유 버너비 군 $B(m,n)$ 는 $C^\ast$-단순한가?
• RQ3 파워스 성질이나 비순환 자유부분군이 없는 군에서도 $C^\ast$-단순성과 추적 유일성이 달성될 수 있는가?
• RQ4 토르션과 토르션 없는 두 경우 모두에서 비가산 개의 서로 이sovolumetric인 유한생성 $C^\ast$-단순군이 존재하는가?
• RQ5 자유부분군에 의존하지 않고 군 표현에서의 스펙트럴 반경 감쇠로부터 $C^\ast$-단순성을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $m \geq 2$ 와 충분히 큰 홀수 $n$ 에 대해 자유 버너비 군 $B(m,n)$ 의 축소된 $C^\ast$-대수는 단순하고 유일한 추적을 가짐을 보였다.
• 상대적으로 하이퍼볼릭 군의 극한으로 구성된 군 $G$ 는 $C^\ast$-단순하고 유일한 추적을 가지며, 비순환 자유부분군을 포함하지 않는다.
• 수열 $i \to \infty$ 에서 $\sum_{y \in Y_i} \lambda_G(ygy^{-1})$ 의 스펙트럴 반경은 0으로 수렴하며, 이는 $C^\ast$-단순성과 추적 유일성을 암시한다.
• 비가산 개의 서로 이sovolumetric인 유한생성 토르션 군이 존재하며, 그들의 축소된 $C^\ast$-대수는 단순하고 유일한 추적을 가짐을 보였다.
• 토르션 없는 경우에도 동일한 결과가 성립하며, 유도 길이 3인 해법군이 이러한 예의 연속적인 가족을 제공한다.
• 이러한 구성은 $C^\ast$-단순성과 유일한 추적성이 비순환 자유부분군의 존재를 전제로 하지 않음을 보여주며, 데 라 하르프의 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시한다.