[논문 리뷰] C-Codes: Cyclic Lowest-Density MDS Array Codes Constructed Using Starters for RAID 6

Mingqiang Li, Jiwu Shu|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 13.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 27인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 순환적이고 최저 밀도인 MDS 어레이 코드인 C-Codes를 소개한다. RAID 6용으로 설계된 C-Codes는 군 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 내의 짝수 기초(starters)를 이용해 구성되며, 최적의 저장 효율성, 최소한의 업데이트 복잡도, 순환 대칭성을 확보한다. 길이 $2n$인 모든 C-Code는 짝수 기초와 일대일 대응됨을 증명하고, C-Codes와 그 쌍둥이(C-Code twin) 사이의 이중성(duality)을 수립하며, 소수 $p$에 대해 길이 $p-1$인 네 개의 무한 가족(세 개는 신규)의 C-Codes를 구성한다. 또한 C-Codes가 존재하지 않는 문제적 짝수 길이(예: 8)에 대해 두 개의 새로운 무한 가족의 준-C-Codes(quasi-C-Codes)를 구성한다.

ABSTRACT

The distance-3 cyclic lowest-density MDS array code (called the C-Code) is a good candidate for RAID 6 because of its optimal storage efficiency, optimal update complexity, optimal length, and cyclic symmetry. In this paper, the underlying connections between C-Codes (or quasi-C-Codes) and starters in group theory are revealed. It is shown that each C-Code (or quasi-C-Code) of length $2n$ can be constructed using an even starter (or even multi-starter) in $(Z_{2n},+)$. It is also shown that each C-Code (or quasi-C-Code) has a twin C-Code (or quasi-C-Code). Then, four infinite families (three of which are new) of C-Codes of length $p-1$ are constructed, where $p$ is a prime. Besides the family of length $p-1$, C-Codes for some sporadic even lengths are also presented. Even so, there are still some even lengths (such as 8) for which C-Codes do not exist. To cover this limitation, two infinite families (one of which is new) of quasi-C-Codes of length $2(p-1)$ are constructed for these even lengths.

연구 동기 및 목표

• RAID 6 스토리지 시스템을 위한 순환적이고 최저 밀도인 MDS 어레이 코드를 개발하여 최적의 저장 효율성과 업데이트 복잡도를 확보한다.
• C-Codes와 군 이론 내 조합 구조, 특히 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 내 짝수 기초 사이의 이론적 연결 고리를 수립한다.
• 이전에 지원되지 않던 짝수 길이, 예를 들어 8과 같은 길이를 포함해 무한 가족의 C-Codes와 준-C-Codes를 구성한다.
• 길이 $2n$인 모든 C-Code가 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 내 짝수 기초와 대응됨을 증명하고, 각 C-Code가 쌍둥이 C-Code를 가짐을 보인다.
• C-Codes가 존재하지 않는 짝수 길이에 대해 준-C-Codes를 도입함으로써 순환적 MDS 어레이 코드의 적용 가능 범위를 $p-1$ 길이를 초월하도록 확장한다.

제안 방법

• 덧셈군 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 내의 짝수 기초를 사용하여 C-Codes를 구성하며, 각 기초는 코드의 패리티 구조를 생성하는 쌍의 집합에 대응한다.
• 기본 그래프에 두 개의 무한 정점 $\infty_1$과 $\infty_2$를 추가하여 $2n+2$개 정점으로 이루어진 $2n$-정규 그래프의 双뿔형 하나의 분할(bipyramidal one-factorization)을 정의한다.
• 알고리즘 2를 사용하여 기저 하나의 분할 $\tilde{C}_0$를 순환 덧셈 모듈로 $2n$으로 이동시켜 하나의 분할 $\tilde{C}_i$를 생성함으로써 순환 대칭성을 확보한다.
• 임의의 두 하나의 분할의 합집합이 해밀턴 순환을 형성함을 보여, 유도된 하나의 분할 분할이 완전한(perfect) 것임을 증명한다.
• 고위상 원리와 모순을 이용하여, $\mathbb{Z}_{2n}$ 내의 0이 아닌 원소 $i$, $i \neq n$는 반드시 기초 집합 내 쌍의 차수로 표현 가능함을 증명한다.
• C-Codes가 존재하지 않는 짝수 길이(예: 길이 8)에 대해 짝수 다중기초(even multi-starters)를 사용하여 준-C-Codes를 도입하고, 길이 $2(p-1)$에 대해 두 개의 새로운 무한 가족의 이러한 코드를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조합 군 구조를 활용하여 RAID 6용 순환적이고 최저 밀도인 MDS 어레이 코드를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 C-Codes와 군 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 내 짝수 기초 사이의 정확한 연결 고리는 무엇인가?
• RQ3 어떤 짝수 길이 $2n$에 대해 C-Codes가 존재하며, 존재하지 않을 경우 어떤 조치를 취할 수 있는가?
• RQ4 모든 C-Code와 그 쌍둥이 C-Code는 대칭적 성질을 공유하여 최적의 성능을 유지하는가?
• RQ5 특히 8과 같은 희귀 짝수 길이에 대해 $p-1$을 초월하는 C-Codes와 준-C-Codes의 무한 가족을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 길이 $2n$인 모든 C-Code는 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 내 짝수 기초와 일대일 대응되며, 코드 설계와 군론적 구조 사이의 대응관계를 확립한다.
• 각 C-Code는 쌍둥이 C-Code를 가지며, 이는 동일한 성능 지표를 갖는 순환적이고 최저 밀도인 MDS 어레이 코드이다.
• 소수 $p$에 대해 길이 $p-1$인 네 개의 무한 가족의 C-Codes를 구성하였으며, 그 중 세 개는 본 논문에서 새로 제안된 것이다.
• C-Codes가 존재하지 않는 짝수 길이(예: 8)에 대해 길이 $2(p-1)$에 대해 두 개의 새로운 무한 가족의 준-C-Codes를 구성하였으며, 그 중 하나는 새로 도입된 것이다.
• 유도된 하나의 분할 분할은 완전한 것으로 증명되었으며, 임의의 두 하나의 분할의 합집합이 해밀턴 순환을 형성함으로써 최적의 코드 성질을 보장한다.
• 이 구성은 최적의 업데이트 복잡도와 저장 효율성을 보장하며, 모든 패리티 업데이트가 단지 XOR 연산으로만 이루어지므로, RAID 6 및 분산 스토리지 시스템에서 실용적이다.