[논문 리뷰] c horizontal convexity on Carnot groups

Andrea Calogero, R. Pini|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 06.

Point processes and geometric inequalities인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 카르노 군에서 c 수평 볼록성(c H-convexity)이라는 새로운 개념을 제안하며, 수평 구조 위에서 c에 의존하는 애फ인 함수의 상한 표현을 통해 고전적 볼록성의 일반화를 시도한다. 주요 기여는 c H-볼록 함수가 국소적으로 H-하향 볼록성임을 보이고, 거의 everywhere에서 수평 도함수를 갖는다는 점이며, 이는 c H-하향도함수의 비어 있지 않은 성질과 c H-순환 단조성에 의해 완전히 특징지어지며, 이는 로카팔라르 유형의 복원과 헤이젠베르크 군 프레임워크 내 최적 질량 운반 문제에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Given a real-valued function $c$ defined on the cartesian product of a generic Carnot group $\G$ and the first layer $V_1$ of its Lie algebra, we introduce a notion of $c$ horizontal convex ($c$ H-convex) function on $\G$ as the supremum of a suitable family of affine functions; this family is defined pointwisely, and depends strictly on the horizontal structure of the group. This abstract approach provides $c$ H-convex functions that, under appropriate assumptions on $c,$ are characterized by the nonemptiness of the $c$ H-subdifferential and, above all, are locally H-semiconvex, thereby admitting horizontal derivatives almost everywhere. It is noteworthy that such functions can be recovered via a Rockafellar technique, starting from a suitable notion of $c$ H-cyclic monotonicity for maps. In the particular case where $c(g,v)=< ξ_1(g),v >,$ we obtain the well-known weakly H-convex functions introduced by Danielli, Garofalo and Nhieu. Finally, we suggest a possible application to optimal mass transportation.

연구 동기 및 목표

• G × V₁ 위에 정의된 일반 비용 함수 c를 기반으로, 카르노 군에서 고전적 볼록성을 일반화하기 위해 새로운 함수 클래스인 c 수평 볼록(c H-convex) 함수를 도입한다.
• c H-볼록 함수가 국소적으로 H-하향 볼록성임을 보이고, 분석에 필요한 충분한 정규성 확보를 위해 거의 everywhere에서 수평 도함수를 갖는다는 것을 입증한다.
• c H-하향도함수의 비어 있지 않은 성질을 통해 c H-볼록 함수를 특징짓고, 유클리드 공간에서의 로카팔라르 이중성 프레임워크를 부분 리만 기하학적 환경으로 확장한다.
• c H-볼록 함수가 c H-순환 단조적인 다중값 함수로 복원될 수 있음을 보이며, 고전적 볼록 해석학의 결과를 모방한다.
• 헤이젠베르크 군에서 최적 질량 운반 문제에의 잠재적 응용을 제안하며, c H-볼록 함수의 가족과 그 하향도함수를 통해 '포텐셜' 함수를 구성한다.

제안 방법

• c H-볼록 함수를 수평 곡선을 따라 함수를 지지하는 (v, α)에 의해 인덱싱된, 형태 g ↦ c(g, v) + α인 c에 의존하는 애फ인 함수들의 점별 상한으로 정의한다.
• c H-하향도함수 ∂ₕᶜf(g)를 모든 g' ∈ G에 대해 f(g') ≥ c(g', v) + α를 만족하는 (v, α)의 집합으로 정의하여, 수평 설정에서 일반화된 하향도함수 개념을 도입한다.
• 카르노 군의 내재된 수평 구조를 활용하여, c H-볼록 함수가 국소적으로 H-하향 볼록임을 보이고, 거의 everywhere에서 수평 도함수의 존재를 입증한다.
• c H-볼록성과 관련 하향도함수 맵의 c H-순환 단조성 간의 동치성을 증명하여, 로카팔라르 정리를 부분 리만 기하학적 맥락으로 확장한다.
• 정리 6.2를 활용하여, c H-순환 단조적인 다중값 함수 T로부터 국소 c H-볼록 함수의 가족 {ψ_g}를 구성하며, 국소적 정규성과 거의 everywhere에서 단일값성을 보장한다.
• 국소 하향도함수의 교차를 통해 전역 포텐셜을 정의한다: ∂ₕᶜΨ(g) = ⋂_{g' ∈ dom(ψ_g')} ∂ₕᶜψ_g'(g), 이를 통해 거의 확실하게 최적 운반 맵 s*를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G × V₁ 위에 정의된 일반 비용 함수 c를 사용하여, 카르노 군에서 고전적 볼록성을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 c H-볼록 함수가 국소적으로 H-하향 볼록성임을 보장하고 거의 everywhere에서 수평 도함수를 갖는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 c H-하향도함수의 비어 있지 않은 성질을 통해 c H-볼록 함수를 고전적 로카팔라르 특징화와 유사하게 완전히 특징지울 수 있는가?
• RQ4 다중값 함수의 c H-순환 단조성이 얼마나 강하게 c H-볼록 포텐셜 함수의 존재를 암시하는가?
• RQ5 c H-볼록성 이론은 헤이젠베르크 군에서 최적 운반 맵을 구성하는 데 어떻게 응용될 수 있는가?

주요 결과

• c H-볼록 함수는 국소적으로 H-하향 볼록성임을 보이고, 군 전역에서 거의 everywhere에서 수평 도함수의 존재를 보장한다.
• c H-볼록 함수의 c H-하향도함수는 정의역의 모든 점에서 비어 있지 않으며, 고전적 하향도함수의 비어 있지 않은 성질을 일반화한다.
• c H-볼록 함수는 로카팔라르 유형의 정리에 따라 하향도함수로부터 복원될 수 있으며, 함수와 그 하향도함수 간의 이중성 관계를 수립한다.
• c H-볼록성은 관련 하향도함수 맵의 c H-순환 단조성과 동치이며, 볼록 해석학의 기본 결과를 확장한다.
• 적절한 교차 조건을 만족하는 국소 c H-볼록 함수의 가족 {ψ_g}를 구성할 수 있으며, 이를 통해 전역 포텐셜 ∂ₕᶜΨ(g)를 정의할 수 있고, 이는 최적 운반 맵을 특징짓는다.
• 최적 운반 맵 s*는 거의 확실하게 s*(g) = g exp( (𝕏c(g,·))⁻¹(𝕏Ψ(g)) − ξ₁(g) )로 주어지며, 여기서 𝕏Ψ(g)는 포텐셜 함수의 수평 도함수이다.