[논문 리뷰] C-infinity-regularization by Noise of Singular ODE's

Oussama Amine, David Baños외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 13.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비홀더 연속 경로를 갖는 새로운 분수 차분 과정을 도입하여, 불연속 벡터장이 있는 특이한 상미분방정식(OED)을 정규화한다. 나시-모저 반복법과 분수적 확률 곡선을 따라 적용되는 고차 평균 연산자를 조합함으로써, 벡터장이 $L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$에 속해 있을 경우에도(여기서 $p,q>2$) 초기 조건에 대해 해의 존재성, 유일성 및 무한 미분 가능성(무한차 미분 가능성)을 증명한다. 이는 전통적인 정규성 상속 원칙에 도전한다.

ABSTRACT

In this paper we construct a new type of noise of fractional nature that has a strong regularizing effect on differential equations. We consider an equation with this noise with a highly irregular coefficient. We employ a new method to prove existence and uniqueness of global strong solutions, where classical methods fail because of the "roughness" and non-Markovianity of the driving process. In addition, we prove the rather remarkable property that such solutions are infinitely many times classically differentiable with respect to the initial condition in spite of the vector field being discontinuous. The technique used in this article corresponds to the Nash-Moser principle combined with a new concept of "higher order averaging operators along highly fractal stochastic curves". This approach may provide a general principle for the study of regularization by noise effects in connection with important classes of partial differential equations.

연구 동기 및 목표

• 특정 유형의 노이즈를 추가함으로써, 매우 불규칙하고 불연속적인 벡터장을 갖는 ODE의 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 지배 노이즈 과정이 비마르코프적이고 거친 성격을 띠기 때문에 전통적 방법이 실패하는 문제를 극복하기 위해.
• 벡터장이 고전적 미분 가능성 조건을 만족하지 못함에도 불구하고, 노이즈가 가미된 SDE의 해가 초기 조건에 대해 무한 미분 가능함을 입증하기 위해.
• 고차 평균화 및 말리아빈 미적분학을 기반으로 한 일반적 프레임워크를 개발하여, PDE 및 스토케스틱 동역계에서의 노이즈에 의한 정규화를 다루기 위해.

제안 방법

• Hursten 매개수 $H_n \searrow 0$를 갖는 독립적인 분수 브라운 운동의 합을 이용해 정적 가우시안 노이즈 과정 $\mathbb{B}_t = \sum_{n\geq1} \lambda_n B_t^{H_n,n}$을 구성하기 위해.
• 푸리에 분석을 통한 말리아빈 미적분학 및 적분-by-파트 기법을 활용해 해의 정규성(정규성)을 분석하기 위해.
• 거친 비마르코프적 노이즈가 존재하는 상황에서 나시-모저 원리를 적용해 해의 정규성을 반복적으로 향상시키기 위해.
• 노이즈의 복잡한 의존성 구조를 다루기 위해 '매우 분수적 확률 곡선을 따라 정의된 고차 평균화 연산자'라는 새로운 개념을 도입하기 위해.
• 노이즈의 경로적 행동을 제어하기 위해 코어널 $K_H(t,u)$를 포함하는 컴actness 기준 및 스토케스틱 적분 표현을 사용하기 위해.
• SDE를 $Y_t^x = X_t^x - \mathbb{B}_t$에 대한 ODE로 재구성하기 위해, 여기서 벡터장은 $b^*(t,y) = b(t, y + \mathbb{B}_t)$가 되며, 이는 랜덤한 외란의 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정으로 구성된 노이즈 과정을 통해 불연속적인 벡터장을 갖는 특이한 ODE가 잘 정의된 문제로 정규화될 수 있는가?
• RQ2 그러한 노이즈에 의해 왜곡된 SDE의 해가 벡터장이 고전적 미분 가능성 조건을 만족하지 못함에도 불구하고 초기 조건에 대해 무한 미분 가능성을 상속하는가?
• RQ3 비마르코프적이고 분수적 성격을 띠는 노이즈를 갖는 스토케스틱 환경에서 나시-모저 방법을 수정하여 $C^\infty$ 정규성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 분수적 확률 곡선을 따라 정의된 고차 평균화 연산자의 역할은 노이즈에 의한 정규화를 달성하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 불규칙한 계수를 갖는 타원형 방정식 또는 기타 PDE의 스토케스틱 형태를 연구하는 데 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 벡터장 $b \in \mathcal{L}_{2,p}^q$ 이며 $p,q \in (2,\infty]$일 경우, 벡터장이 리프시츠 또는 연속성 성질을 갖지 않음에도 불구하고 SDE $X_t^x = x + \int_0^t b(s,X_s^x)ds + \mathbb{B}_t$는 유일한 전역 강해를 갖는다.
• 해는 거의 확실하게 초기 조건에 대해 무한 미분 가능하며, 즉 모든 $t$에 대해 $x \mapsto X_t^x \in C^\infty(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^d)$ 거의 확실하게 성립한다. 이는 $b$가 불연속일 경우에도 마찬가지다.
• 정규화 효과는 $H_n \searrow 0$를 갖는 분수 브라운 운동의 합을 포함하는 새로운 노이즈 구성 덕분이며, 이는 비홀더 연속 경로와 비마르코프적 의존성을 보장한다.
• 이 방법은 분수적 확률 곡선을 따라 정의된 새로운 종류의 고차 평균화 연산자에 의존하며, 이는 도함수 추정에서 노이즈의 비규칙성 제어를 가능하게 한다.
• 증명 기법은 말리아빈 미적분학과 컴팩트니스 기준, 반복 적분의 셔플 곱 공식의 일반화된 형태를 결합하여 나시-모저 반복의 수렴을 보장한다.
• 이 프레임워크는 PDE 및 스토케스틱 동역계에서의 노이즈에 의한 정규화를 위한 일반 원칙을 제공하며, 특히 특이하거나 불규칙한 계수를 갖는 방정식에 대해 유용하다.