[논문 리뷰] C-infinity regularization of ODEs perturbed by noise

Fabian A. Harang, Nicolas Perkowski|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 분포 벡터장에 의해 흔들리는 일반 미분방정식(OED)에 대해 경로에 의존하는 정규화 프레임워크를 수립한다. 불규칙한 경로에 의해 흔들리는 ODE의 경우, 만약 흔들림 경로의 국소시간이 충분히 규칙적—특히 소볼레프 공간에서—이라면 해는 유일하게 존재하며, $C^\infty$ 미분형 사상의 흐름을 유도한다. 이 방법은 비선형 영 연산과 국소시간 분석에 기반하며, 확률적 소음에서 일반적인 정규화 경로로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We study ODEs with vector fields given by general Schwartz distributions, and we show that if we perturb such an equation by adding an "infinitely regularizing" path, then it has a unique solution and it induces an infinitely smooth flow of diffeomorphisms. We also introduce a criterion under which the sample paths of a Gaussian process are infinitely regularizing, and we present two processes which satisfy our criterion. The results are based on the path-wise space-time regularity properties of local times, and solutions are constructed using the approach of Catellier-Gubinelli based on non-linear Young integrals.

연구 동기 및 목표

• 확률적 영집합에 의존하지 않는 순수 경로 기반의 분포 벡터장에 대한 ODE 정규화 프레임워크 개발.
• 해 $y_t^x = x + \int_0^t b(y_r)\,dr + \epsilon w_t$ 가 초기 조건 $x$ 에 대해 유일하게 정의되고 매끄럽게 되는 경로 $w$ 에 대한 조건 규명.
• 적절한 국소시간 정규성 조건 하에서 흐름 사상 $x \mapsto y_t^x$ 가 무한히 미분 가능($C^\infty$)함을 입증.
• 분수 브라운 운동을 초월해 적용 가능한, 가우시안 과정이 무한히 정규화 가능한 일반 기준 제공.
• 푸리에-레베스크 또는 베소프 공간 대신 소볼레프 공간에서 작업함으로써 결정론적 및 확률적 정규화를 통합하고, $b$ 가 허더 또는 $L^2$-소볼레프 클래스에 속할 경우에도 광범위하게 적용 가능하게 함.

제안 방법

• 비선형 영 연산 이론을 활용해 분포 $b$ 에 대해 적분 $\int_0^t b(y_r)\,dr$ 를 정의하며, 이는 흔들림 경로 $w$ 의 정규성에 기반한다.
• 경로 $w$ 의 국소시간 $L$ 의 시공간 정규성 제어. 적절한 조건 하에서 $L$ 이 $W^{\gamma,2}$ 에 속함을 보임. ($\gamma > 1/2$)
• 적분을 컨볼루션 형태로 표현: $\int_0^t b(x + w_s)\,ds = b * L(-\cdot)$, 이를 통해 소볼레프 공간에서의 컨볼루션 추정을 통해 제어 가능.
• 세잉 보조정리를 적용해 해를 구성하고, 해의 존재성과 유일성을 경로 기반으로 증명. 이는 $b$ 와 연관된 영집합에 의존하지 않음.
• 고차 미분을 위해 세잉 보조정리를 반복 적용하여 흐름 사상의 무한 미분 가능성 입증.
• 독립 증분과 허더 연속적인 국소시간을 갖는 가우시안 과정의 클래스를 식별하여, $C^\infty$ 정규화를 위한 필요한 정규성 조건 충족함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포 벡터장 $b$ 에 대해 ODE $y_t^x = x + \int_0^t b(y_r)\,dr + \epsilon w_t$ 가 경로 기반 조건에서 유일한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 순수 경로 분석을 통해 초기 조건 $x$ 에 대해 흐름 사상 $x \mapsto y_t^x$ 가 무한히 미분 가능($C^\infty$)함을 입증할 수 있는가?
• RQ3 국소시간 $L$ 의 어떤 정규성 특성이 ODE 의 $C^\infty$ 정규화를 보장하는 데 충분한가?
• RQ4 어떤 가우시안 과정이 $L^2$ 또는 허더 공간에 속하는 $b$ 를 갖는 ODE 에 대해 $C^\infty$ 흐름을 유도할 수 있는 충분한 소볼레프 정규성의 국소시간을 갖는가?
• RQ5 정규화 효과를 벡터장 $b$ 에 의존하지 않게 하여, $b$ 에 따라 달라지는 영집합을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 경로 $w$ 의 국소시간 $L$ 이 $W^{\gamma,2}$ 에 속하고 $\gamma > 1/2$ 라면, 분포 항력 $b$ 를 갖는 ODE 는 모든 $x$ 에 대해 유일한 해를 갖는다.
• 동일한 국소시간 정규성 조건 하에서, 해 사상 $x \mapsto y_t^x$ 는 임의의 $\tau \in (0,T]$ 에 대해 $C([0,\tau], \mathbb{R}^d)$ 에서 무한 프레셰 미분 가능하다.
• 국소시간이 $W^{\gamma,2}$ 에 속하고 $\gamma > 1/2$ 라면, 모든 $t \in (0,T]$ 에 대해 흐름은 $C^\infty$ 미분형 사상이다.
• 국소시간 $L$ 의 경로 기반 정규성에 기반함으로써 확률적 영집합을 피함으로써, 비확률적 경로에도 적용 가능한 결과를 도출.
• 두 종류의 가우시안 과정이 필요한 국소시간 정규성 조건을 충족함을 규명: 독립 증분을 갖는 과정과 $W^{\gamma,2}$ 에서 $\gamma > 1/2$ 인 허더 연속 국소시간을 갖는 과정.
• 카텔리에르-구빈엘리 및 플란돌리-폴리토의 이전 결과를 일반화하여, 비확률적 및 비가우시안 정규화 경로로 $C^\infty$ 정규화를 확장함.