[논문 리뷰] C^m Eigenfunctions of Perron-Frobenius Operators and a New Approach to Numerical Computation of Hausdorff Dimension

Richard S. Falk, Roger D. Nussbaum|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 반복함수계(IFS)의 불변집합의 하우스도르프 차원을 계산하기 위한 새로운 수치적 방법을 제시한다. 이 방법은 페론-프로베니우스 연산자의 $C^m$ 고유함수를 분석하여, $C^k$ 공간에서 조각별 선형 함수를 사용한 콜로케이션 기반으로 매개변수화된 전이 연산자의 스펙트럼 반경 $\lambda_s$를 엄밀하게 경계한다. 하우스도르프 차원 $s_*$는 유일한 $s$ 값에서 $\lambda_s = 1$이 성립함으로써 구해지며, 메esh 크기가 감소함에 따라 수렴 오차 경계를 제공한다.

ABSTRACT

We develop a new approach to the computation of the Hausdorff dimension of the invariant set of an iterated function system or IFS. In the one dimensional case, our methods require only C^3 regularity of the maps in the IFS. The key idea, which has been known in varying degrees of generality for many years, is to associate to the IFS a parametrized family of positive, linear, Perron-Frobenius operators L_s. The operators L_s can typically be studied in many different Banach spaces. Here, unlike most of the literature, we study L_s in a Banach space of real-valued, C^k functions, k >= 2; and we note that L_s is not compact, but has a strictly positive eigenfunction v_s with positive eigenvalue lambda_s equal to the spectral radius of L_s. Under appropriate assumptions on the IFS, the Hausdorff dimension of the invariant set of the IFS is the value s=s_* for which lambda_s =1. This eigenvalue problem is then approximated by a collocation method using continuous piecewise linear functions (in one dimension) or bilinear functions (in two dimensions). Using the theory of positive linear operators and explicit a priori bounds on the derivatives of the strictly positive eigenfunction v_s, we give rigorous upper and lower bounds for the Hausdorff dimension s_*, and these bounds converge to s_* as the mesh size approaches zero.

연구 동기 및 목표

• IFS의 불변집합에 대한 하우스도르프 차원을 엄밀한 오차 경계를 갖는 수치적 방법으로 계산하는 것.
• 분석적 또는 $L^p$ 공간 외부에서 페론-프로베니우스 연산자를 $k \geq 2$인 $C^k$ 함수 공간에서 연구함으로써 그 적용을 확장하는 것.
• 수치적 근사의 수렴을 보장하기 위해 엄격히 양의 고유함수의 도함수에 대한 명시적 사전 경계를 제공하는 것.
• 하우스도르프 차원 $s_*$가 $C^3$ 정규성 조건 하에서 스펙트럼 반경 $\lambda_s = 1$을 만족하는 유일한 $s$임을 증명하는 것.
• 연속적인 조각별 선형 또는 이차 함수를 사용한 콜로케이션 방법을 설계하여 $s_*$에 대한 수렴하는 상한 및 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 $C^k(\bar{H})$ 공간에 작용하는 매개변수화된 양의 선형 페론-프로베니우스 연산자 $L_{s,k}$ 의 가족을 사용한다. 이는 $ (L_{s,k}f)(x) = \sum_{j=1}^m [b_j(x)]^s f(\theta_j(x)) $ 로 정의되며, 1차원에서는 $b_j(x) = |\theta_j'(x)|$ 이다.
• 스펙트럼 반경 $\lambda_s = r(L_{s,k})$ 는 메쉬 위에서 연속적인 조각별 선형(1차원) 또는 이차 함수(2차원)를 사용한 콜로케이션 방법을 통해 수치적으로 계산된다.
• 수치 근사 오차를 제어하고 $s_*$에 대한 경계의 수렴을 보장하기 위해 엄격히 양의 고유함수 $v_s$의 도함수에 대한 사전 경계를 유도한다.
• 양의 선형 연산자 이론과 Kreĭn-Rutman 정리를 활용하여, 고유값 $\lambda_s$를 갖는 엄격히 양의 고유함수 $v_s$의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 하우스도르프 차원 $s_*$는 스펙트럼 반경 $\lambda_s = 1$을 만족하는 유일한 $s$로 식별되며, 이 값은 콜로케이션 기반으로 수렴하는 상한 및 하한을 통해 엄밀하게 근사된다.
• 이산 근사 행렬 $M_s$의 스펙트럼 반경 $r(M_s)$ 가 $s$에 대해 로그볼록임을 Kingman의 정리를 사용해 증명하여, secant 기반의 루트 찾기 알고리즘의 빠른 수렴을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 IFS의 불변집합에 대한 하우스도르프 차원은 $L^p$ 또는 해석적 공간 외에 $C^k$ 함수 공간을 사용하여 엄밀한 오차 경계를 갖는 수치적 방법으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 조각별 선형 함수를 사용한 $C^k$ 공간 기반의 콜로케이션 방법이 스펙트럼 반경 $\lambda_s$에 대한 수렴하는 상한 및 하한을 어떻게 제공하는가?
• RQ3 페론-프로베니우스 연산자 $L_s$의 스펙트럼 반경 $\lambda_s$가 하우스도르프 차원 $s_*$에서 정확히 $\lambda_s = 1$이 되도록 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 수치 근사 오차를 제어하기 위해 엄격히 양의 고유함수 $v_s$의 도함수에 대한 명시적 사전 경계를 유도할 수 있는가?
• RQ5 $M_s$가 $L_s$의 이산 근사 행렬일 때, $r(M_s)$ 가 $s$에 대해 로그볼록인가? 이는 루트 찾기 알고리즘의 수렴 속도 향상에 기여하는가?

주요 결과

• 일차원 IFS의 불변집합에 대한 하우스도르프 차원 $s_*$ 는 IFS 사상이 $C^3$ 이고 적절한 압축성 및 도함수의 영이 아닌 조건을 만족할 경우, 스펙트럼 반경 $\lambda_s = 1$ 이 되는 유일한 $s$ 와 같다.
• $k \geq 2$ 인 $C^k(\bar{H})$ 공간에 작용하는 페론-프로베니우스 연산자 $L_{s,k}$ 는 고유값 $\lambda_s = r(L_{s,k})$ 를 갖는 엄격히 양의 고유함수 $v_s$ 를 가지며, $\lambda_s$ 는 $k$ 에 독립적이다.
• 조각별 선형 함수를 사용한 콜로케이션을 통해 $s_*$ 에 대한 엄밀한 상한 및 하한이 확보되며, 이 경계들은 메쉬 크기가 0에 수렴함에 따라 $s_*$ 로 수렴한다.
• $M_s$ 가 $L_s$ 의 이산 행렬 근사일 때, $s \mapsto r(M_s)$ 는 로그볼록이며, 이는 secant 기반의 루트 찾기 방법의 초선형 수렴을 보장한다.
• 이 방법은 유한 및 무한 IFS 모두에 적용 가능하며, $C^3$ 정규성 조건을 포함한 약한 정규성 가정 하에서 수렴이 보장된다.
• 이 접근법은 열역학 형식을 회피하고 해석성이 필요로 하지 않아, 이전 방법보다 더 넓은 범위의 IFS에 적용 가능하다.