[논문 리뷰] C-motivic modular forms

Bogdan Gheorghe, Daniel C. Isaksen외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학적 기초에 의존하지 않는 새로운 $̳\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러의 범주를 사용하여 세포적이고 2완비인 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스펙트럼 이론의 위상수학적 모델을 구축한다. 이 모델을 통해 $̳\mathbb{C}$ 위의 모티빅 모듈러 형식 스펙트럼 $̳\mathit{mmf}$ 가 존재함을 보이며, 그 코homology 가 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$ 를 실현함을 증명하고, $̳\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러의 호모토피 범주와 2완비 세포적 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스펙트럼 이론의 범주 사이에 동치가 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We construct a topological model for cellular, 2-complete, stable C-motivic homotopy theory that uses no algebro-geometric foundations. We compute the Steenrod algebra in this context, and we construct a "motivic modular forms" spectrum over C.

연구 동기 및 목표

• 세포적이고 2완비인 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스테이블 호모토피 이론에 대해 대수기하학적 기초에 의존하지 않는 위상수학적 모델을 구축하는 것.
• 그 코homology 가 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$ 인 $̳\mathbb{C}$ 위의 모티빅 모듈러 형식 스펙트럼 $̳\mathit{mmf}$ 가 존재함을 증명하는 것.
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러 모델에서 스틸레드 대수를 계산하고, 이가 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스틸레드 대수와 일치함을 보이는 것.
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러의 호모토피 범주와 2완비 세포적 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스테이블 호모토피 이론 범주 사이의 동치를 증명하는 것.

제안 방법

• $\Gamma_{\star}S^{0}$ 를 고전적 스펙트럼의 무한수열로 구성된 필터링된 스펙트럼의 범주로 정의하며, 대수기하학적 구성 요소를 피한다.
• $MU$ (복소 코버드 이론 스펙트럼) 를 기본 입력으로 하여 $\Gamma_{\star}S^{0}$ 에 $\mathbb{E}_{\infty}$-링의 구조를 구성한다.
• $\mathbb{F}_{2}$-Eilenberg-Mac Lane $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러 $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$ 를 정의하고, 그 호모토피 군이 $\mathbb{F}_{2}[\tau]$ 로서 $̳\mathbb{C}$-모티빅 코homology 와 일치함을 보인다.
• $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$ 의 코작용을 계산하여, 이 맥락에서의 스틸레드 대수가 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스틸레드 대수와 동형임을 보인다.
• $\Gamma_{\star}\mathit{tmf}$ 를 $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러로 정의하고, 그 코homology 가 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$ 와 동형임을 보여, $̳\mathit{mmf}$ 가 갖추어야 할 성질을 만족함을 증명한다.
• $X \mapsto \Omega^{0,\star}_{s}(X)$ 와 $Y_{\star} \mapsto Y_{\star} \otimes_{\Gamma_{\star}S^{0}} S^{0,\star}$ 가 서로의 쌍대함수로서 작용함을 증명하여, 범주 사이의 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세포적이고 2완비인 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스테이블 호모토피 이론에 대해 대수기하학적 기초에 의존하지 않는 위상수학적 모델을 구축할 수 있는가?
• RQ2 그 코homology 가 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$ 인 $̳\mathbb{C}$ 위의 모티빅 모듈러 형식 스펙트럼 $̳\mathit{mmf}$ 가 존재하는가?
• RQ3 이 모델에서 순수히 위상수학적 자료만으로 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스틸레드 대수를 재구성할 수 있는가?
• RQ4 $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러의 호모토피 범주와 2완비 세포적 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스테이블 호모토피 이론 범주 사이에 동치가 존재하는가?

주요 결과

• $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러의 범주는 Voevodsky의 모티빅 코homology 계산에 의존하지 않는, 세포적이고 2완비인 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스테이블 호모토피 이론의 완전한 위상수학적 모델을 제공한다.
• $\mathbb{F}_{2}$-Eilenberg-Mac Lane $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러 $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$ 는 호모토피 군이 $\mathbb{F}_{2}[\tau]$ 로서 $̳\mathbb{C}$-모티빅 코homology 와 일치한다.
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러 맥락에서의 스틸레드 대수는 $̳\mathbb{C}$-모티빅 스틸레드 대수와 동형이며, 계산적 호환성을 확인한다.
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-모듈러 $\Gamma_{\star}\mathit{tmf}$ 는 코homology 가 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$ 와 동형이며, 이는 $̳\mathit{mmf}$ 의 후보로 적합함을 보여준다.
• $\mathbf{Sp}_{\mathbb{C}}$ 와 $\operatorname{Mod}_{\Gamma_{\star}S^{0}}$ 사이에서 $X \mapsto \Omega^{0,\star}_{s}(X)$ 와 $Y_{\star} \mapsto Y_{\star} \otimes_{\Gamma_{\star}S^{0}} S^{0,\star}$ 가 서로의 쌍대함수로서 작용함을 증명하여, 주요 범주 동치를 확립한다.