[논문 리뷰] C*-Multipliers, crossed product algebras, and canonical commutation relations

Jan Naudts|ArXiv.org|1999. 07. 09.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 C*-대수로 값이 취해지는 C*-멀티플라이어로 그룹 멀티플라이어의 개념을 일반화하고, 연속적이고 컴 pact하게 지지된 A-값 함수들의 공간 위에서의 프로젝티브 작용을 도입한다. C*-멀티플라이어와 이러한 프로젝티브 작용 사이의 일대일 대응을 확립하며, 와이어드 그룹 대수와 크로스드 프로덕트 대수의 구성 방식을 통합한다. 핵심 결과는 크로스드 프로덕트의 멀티플라이어 대수가 C*-멀티플라이어에 상대적인 표준 교환관계를 만족하는 와이어드 연산자들을 포함하며, 이는 양자 시공간에 응용된다.

ABSTRACT

The notion of a multiplier of a group X is generalized to that of a C*-multiplier by allowing it to have values in an arbitrary C*-algebra A. On the other hand, the notion of the action of X in A is generalized to that of a projective action of X as linear transformations of the space of continuous functions with compact support in X and with values in A. It is shown that there exists a one-to-one correspondence between C*-multipliers and projective actions. C*-multipliers have been used to define twisted group algebras. On the other hand, the projective action tau can be used to construct the crossed product algebra A x_tau X. Both constructions are unified in the present approach. The results are applicable in mathematical physics. The multiplier algebra of the crossed product algebra A x_tau X contains Weyl operators {W(x),x in X}. They satisfy canonical commutation relations w.r.t. the C*-multiplier. Quantum spacetime is discussed as an example.

연구 동기 및 목표

• 임의의 C*-대수로 값이 취해지는 C*-멀티플라이어로 그룹 멀티플라이어의 개념을 일반화하기.
• C*-대수로 값이 취해지는 함수 공간 위에서의 C*-대수에 대한 그룹 작용의 개념을 프로젝티브 작용으로 확장하기.
• C*-멀티플라이어와 이러한 프로젝티브 작용 사이의 일대일 대응을 확립하기.
• 와이어드 그룹 대수와 크로스드 프로덕트 대수의 구성 방식을 하나의 프레임워크 안에서 통합하기.
• 이 프레임워크가 양자물리학, 특히 비가환 시공간에서 와이어드 연산자가 표준 교환관계를 실현하는 데 어떻게 적용될 수 있는지 보여주기.

제안 방법

• 그룹 X에서 C*-대수 A로의 사상으로서 C*-멀티플라이어를 정의하여 표준 멀티플라이어를 일반화한다.
• X 위의 연속적이고 컴 pact하게 지지된 A-값 함수들의 공간 위에서의 선형 변환의 가족으로서 X의 프로젝티브 작용을 도입한다.
• 코호몰로지 코사이클을 포함하는 구성에 의해 C*-멀티플라이어와 프로젝티브 작용 사이의 전단사 대응을 확립한다.
• 프로젝티브 작용을 이용하여 표준 크로스드 프로덕트 구성 방식을 일반화한 A ×_τ X의 크로스드 프로덕트 대수를 정의한다.
• A ×_τ X의 멀티플라이어 대수가 C*-멀티플라이어에 상대적인 표준 교환관계를 만족하는 와이어드 연산자들 {W(x) | x ∈ X}를 포함함을 보인다.
• 비가환 시공간 설정에서 CCR를 실현하는 와이어드 연산자들로서의 구현을 통해, 이 프레임워크를 양자 시공간에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식한 그룹 멀티플라이어의 개념을 임의의 C*-대수로 값이 취해지는 경우로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 C*-대수로 값이 취해지는 함수 공간 위에서의 C*-대수에 대한 그룹 작용의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 C*-멀티플라이어와 이러한 일반화된 프로젝티브 작용 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ4 와이어드 그룹 대수와 크로스드 프로덕트 대수의 구성 방식은 이 프레임워크 아래에서 통합될 수 있는가?
• RQ5 멀티플라이어 대수의 크로스드 프로덕트에서 표준 교환관계를 만족하는 와이어드 연산자가 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• C*-멀티플라이어와 C*-대수 A로 값이 취해지는 함수들의 연속적이고 컴 pact하게 지지된 공간 위에서의 그룹 X의 프로젝티브 작용 사이의 일대일 대응이 확립된다.
• 프로젝티브 작용 τ로부터 유도된 크로스드 프로덕트 대수 A ×_τ X는 와이어드 연산자들 {W(x) | x ∈ X}를 포함하는 멀티플라이어 대수를 갖는다.
• 이 와이어드 연산자들은 C*-멀티플라이어에 상대적인 표준 교환관계를 만족하며, 양자역학에서의 표준 와이어드 관계를 일반화한다.
• 이 프레임워크는 동일한 기초 구조를 통해 와이어드 그룹 대수와 크로스드 프로덕트 대수의 구성 모두를 통합한다.
• 이 구성은 비가환 시공간에서의 대칭성을 코딩하는 C*-멀티플라이어와 함께 양자 시공간에 적용되며, 이 설정에서 와이어드 연산자들이 표준 교환관계를 실현한다.
• 결과들은 C*-대수 이론의 맥락에서 형식적으로 서술되고 증명되며, 비가환 공간 위에서의 양자장 이론의 대수적 구성에 특히 응용된다.