[논문 리뷰] C*-pseudo-multiplicative unitaries

Thomas Timmermann|ArXiv.org|2007. 09. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 양자군 이론에서 사용되는 바나흐 공간 이론의 구조인 von Neumann 대수적 구조에 대한 $C^*$-대수적 유사체로 $C^*$-pseudo-multiplicative unitaries와 Hopf $C^*$-bimodules를 제안한다. 정규 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitaries는 두 개의 Hopf $C^*$-bimodule를 유도하며, 국소적으로 컴act한 군oids에 대해 명시적인 실현이 존재한다: 하나는 $C_0(G)$와 동형이며, 다른 하나는 축약된 군oid $C^*$-대수 $C^*_r(G)$와 동형이다. 이는 Baaj와 Skandalis의 구성 방식을 $C^*$-프레임워크로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We introduce $C^*$-pseudo-multiplicative unitaries and (concrete) Hopf $C^*$-bimodules, which are $C^*$-algebraic variants of the pseudo-multiplicative unitaries on Hilbert spaces and the Hopf-von Neumann-bimodules studied by Enock, Lesieur, Vallin. Moreover, we associate to every regular $C^*$-pseudo-multiplicative unitary two Hopf-$C^*$-bimodules and discuss examples related to locally compact groupoids.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴팩트한 양자군oid에 대한 $C^*$-대수적 프레임워크를 개발하여, Enock, Lesieur 및 Vallin의 von Neumann 대수적 이론을 일반화한다.
• $C^*$-pseudo-ultiplicative unitaries를 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 유니터리로 정의하여, 힐버트 공간 위의 pseudo-ultiplicative unitaries에 대한 $C^*$-유사체로 제안한다.
• 각 정규 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary로부터 두 개의 Hopf $C^*$-bimodule를 구성함으로써, Baaj와 Skandalis의 구성 방식을 확장한다.
• 국소적으로 컴팩트한 군oid와 관련된 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary가 이중 및 축약된 군oid $C^*$-대수의 구체적 실현을 제공함을 보인다.

제안 방법

• Hilbert $C^*$-모듈러스의 $C^*$-상대적 텐서곱을 도입하여, von Neumann 설정에서 Connes의 상대적 텐서곱을 일반화한다.
• 상대적 텐서곱을 이용해 $C^*$-대수의 공간적 섞임을 정의함으로써, 함자성과 von Neumann 대수 섞임과의 호환성을 확보한다.
• $C^*$-pseudo-ultiplicative unitaries를 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 유니터리로 정의하며, von Neumann 경우와 유사한 이중모듈러스 호환 조건을 만족시킨다.
• $C^*$-pseudo-ultiplicative unitaries의 정규성 조건을 도입하여, 관련된 대수와 $*$-호모모르피즘이 Hopf $C^*$-bimodule를 이룬다는 것을 보장한다.
• 각 정규 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary로부터 두 개의 Hopf $C^*$-bimodule를 구성한다: 하나는 기저 대수 $\widehat{A}(V) \cong C_0(G)$를 가지며, 다른 하나는 $A(V) = C^*_r(G)$를 가진다.
• 군oid의 섬유 위의 $L^2$-공간에서 적분 커널을 사용한 직접 계산을 통해 comultiplication의 Hopf $C^*$-bimodule 공리를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 pseudo-ultiplicative unitary의 개념을 von Neumann 대수 설정에서 $C^*$-대수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary가 Hopf $C^*$-bimodule의 구조를 생성하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary는 국소적으로 컴팩트한 군oids와 그에 관련된 $C^*$-대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Baaj와 Skandalis의 일반화된 Pontrjagin 이중성 구성 방식을 이 새로운 프레임워크를 통해 $C^*$-대수로 확장할 수 있는가?
• RQ5 국소적으로 컴팩트한 군oid의 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary로부터 유도되는 Hopf $C^*$-bimodule의 정확한 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 국소적으로 컴팩트한 군oid $G$와 관련된 $C^*$-pseudo-ultiplicative unitary는 정규적이며, Hopf $C^*$-bimodule를 구성하기 위한 필요한 해석학적 및 대수적 조건을 만족한다.
• 이중 대수 $\widehat{A}(V)$는 $C_0(G)$와 동형이며, $L^2(G, \nu)$ 위의 곱셈 연산자로서 실현된다.
• 축약된 군oid $C^*$-대수 $C^*_r(G)$는 $A(V)$로서 실현되며, comultiplication은 모듈러스 함수 $D^{-1/2}$에 대한 적분으로 주어진다.
• $\widehat{A}(V)$ 위의 comultiplication은 $\widehat{\Delta}(m(f))\zeta(x,y) = f(xy)\zeta(x,y)$로 작용하며, 이는 이중 대수에서의 점별 곱셈에 해당한다.
• $A(V)$ 위의 comultiplication은 $\Delta(L(g))\zeta(x,y) = \int_{G^{r_G(x)}} g(z) D^{-1/2}(z) \zeta(z^{-1}x, z^{-1}y) d\lambda^{r_G(x)}(z)$로 주어지며, 이는 군oid의 콘볼루션을 반영한다.
• 이 구성은 두 개의 구체적인 Hopf $C^*$-bimodule를 유도한다: $({}_{\mathfrak{B}^\dagger}\mathfrak{H}_{\mathfrak{B}}, H, \widehat{A}(V), \widehat{\beta}, \alpha, \widehat{\Delta})$와 $({}_{\mathfrak{B}}\mathfrak{H}_{\mathfrak{B}^\dagger}, A(V), \alpha, \beta, \Delta)$이며, 명시적인 작용과 comultiplication이 포함되어 있다.