[논문 리뷰] C^r surface diffeomorphisms with no maximal entropy measure

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 $1 \leq r < \infty$에 대해, 유한하고 양의 위상적 엔트로피를 가지지만 최대 엔트로피를 갖는 불변 측도가 없는 $C^r$ 표면 미분동형사상(따라서 모든 다양체에서도)을 구성한다. 위상적 엔트로피가 0인 $C^\infty$ 미분동형사상의 펌프팅을 통해, 모든 비-준주기적 에르고딕 측도에 대해 최대 리아풀로프 지수가 위상적 엔트로피보다 엄격히 작은 시스템을 설계하였다. 이는 루엘의 부등식을 위반하고, 최대 엔트로피 측도의 존재를 배제한다.

ABSTRACT

For any $1\leq r

연구 동기 및 목표

• 모든 $1 \leq r < \infty$에 대해, 유한하고 양의 위상적 엔트로피를 갖는 $C^r$ 표면 미분동형사상이 최대 엔트로피 측도를 갖지 않을 수 있는지 여부를 해결하는 것. 특히 2차원 및 3차원에서의 경우를 다룸.
• 뉴하우스의 $C^\infty$ 시스템에서 최대 엔트로피 측도가 존재하지 않는 결과를 모든 유한한 $r$에 대해 $C^r$ 설정으로 확장하는 것.
• 위상적 엔트로피가 0인 $C^\infty$ 미분동형사상의 펌프팅을 통해 디스크 상에서 명시적인 예를 구성하고, 이를 통해 모든 다양체로 확장하는 것.
• 위상적 엔트로피의 변분 원리에서의 상한이 어떤 불변 측도에 의해도 달성되지 않음을 보여주는 것. 이는 연속성과 유한한 엔트로피에도 불구하고 성립함.

제안 방법

• 위상적 엔트로피가 0인 디스크 상의 $C^\infty$ 미분동형사상 $f_0$를 구성하고, 이를 펌프팅의 기초로 삼음.
• $f_0$에 대한 $C^r$-소형 펌프팅을 통해, 위상적 엔트로피 $\frac{1}{r}\lambda(f_0)$를 갖는 새로운 미분동형사상 $f$를 생성함.
• 모든 비-준주기적 에르고딕 측도 $\mu$에 대해 최대 리아풀로프 지수 $\lambda^u(f,\mu)$가 $\frac{1}{r}\lambda(f_0)$보다 엄격히 작게 펌프팅을 설계함.
• 루엘의 부등식 $h(f,\mu) \leq \lambda^u(f,\mu)^+$를 활용하여, 그러한 $\mu$가 $h_{\text{top}}(f)$와 같은 엔트로피를 달성할 수 없음을 보이고, 최대 엔트로피 측도의 존재를 배제함.
• 플로우 박스 구성과 전이 사상의 추정을 통해, 디스크의 다양한 영역에서 도함수와 리아풀로프 지수의 성장률을 제어함.
• 펌프팅된 시스템에서 전이 시간과 도함수 성장률에 대한 균일한 경계를 확립하여, 리아풀로프 지수가 위상적 엔트로피보다 엄격히 낮게 유지되도록 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $1 \leq r < \infty$에 대해, 유한하고 양의 위상적 엔트로피를 갖는 $C^r$ 표면 미분동형사상이 최대 엔트로피 측도를 갖지 않을 수 있는가?
• RQ2 뉴하우스의 $C^\infty$ 결과에서 최대 엔트로피 측도가 존재하지 않는 것이, 모든 유한한 $r$에 대해 $C^r$ 정규성 하에서도 유지되는가?
• RQ3 특히 2차원에서, 최대 엔트로피 측도의 부재가 위상적 엔트로피에 매우 가까운 엔트로피를 갖는 측도의 존재에도 불구하고 지속되는가?
• RQ4 모든 비-준주기적 에르고딕 측도의 최대 리아풀로프 지수가 위상적 엔트로피보다 엄격히 작은 $C^r$ 미분동형사를 구성할 수 있는가?
• RQ5 위상적 엔트로피의 변분 원리에서 상한이 달성되지 않는 동역학적 구조적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $1 \leq r < \infty$에 대해, 위상적 엔트로피 $h_{\text{top}}(f) = \frac{1}{r}\lambda(f_0) > 0$를 갖는 디스크 상의 $C^r$ 미분동형사상이 존재함.
• 모든 비-준주기적 에르고딕 측도 $\mu$에 대해 $\lambda^u(f,\mu) < \lambda^u(\mathcal{P}'(f)) = \frac{1}{r}\lambda(f_0)$이므로, 어떤 불변 확률 측도 $\mu$도 $h_{\text{top}}(f)$와 같은 엔트로피를 달성하지 못함.
• 구성 과정은 최대 리아풀로프 지수가 모든 비-준주기적 에르고딕 측도에 대해 위상적 엔트로피보다 엄격히 작게 유지되도록 하여, 루엘의 부등식이 엄격한 부등식으로 위반됨.
• 이 결과는 위상 차원이 2 이상인 모든 다양체에서 성립함. 디스크 구성은 임bedding을 통해 확장 가능하기 때문임.
• 이 예는 $C^r$ 위상에서 강건함: 기저 $C^\infty$ 미분동형사상 $f_0$의 임의의 근방 $\mathcal{U}_0$에 대해, 동일한 부재 성질을 갖는 펌프팅된 $f \in \mathcal{U}_0$가 존재함.
• 핵심 메커니즘은 위상적 엔트로피에 비해 리아풀로프 지수의 엄격한 최적성 부족으로, 변분 원리가 근사치를 보장하지만, 최대 엔트로피를 달성하는 측도는 존재하지 않음.