[논문 리뷰] C-system of a module over a monad on sets

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 집합 위의 모나드와 그 위의 왼쪽 모듈로부터 C-계열(C-system)을 구성하며, 종속형 이론을 모델링하기 위한 일반적인 범주론적 프레임워크를 제공한다. 이 C-계열의 부분-몫구조를 모나드와 모듈로부터 직접 유도된 구조를 통해 특성화하고, 명칭 서명에 적용하여, α-등가류의 판단들에 의해 일반화된 대수적 및 마르틴-lö프 형 이론의 C-계열을 회복한다.

ABSTRACT

This is the second paper in a series that aims to provide mathematical descriptions of objects and constructions related to the first few steps of the semantical theory of dependent type systems. We construct for any pair $(R,LM)$, where $R$ is a monad on sets and $LM$ is a left module over $R$, a C-system (contextual category) $CC(R,LM)$ and describe a class of sub-quotients of $CC(R,LM)$ in terms of objects directly constructed from $R$ and $LM$. In the special case of the monads of expressions associated with nominal signatures this construction gives the C-systems of general dependent type theories when they are specified by collections of judgements of the four standard kinds.

연구 동기 및 목표

• 집합 위의 모나드와 그 위의 왼쪽 모듈로부터 C-계열의 일반적인 범주론적 구성법을 제공하기 위해.
• 구성된 C-계열의 모든 C-부분계열과 정규 몫을 모나드와 모듈로부터 직접 유도된 자료를 통해 특성화하기 위해.
• 명칭 서명에서 유도되는 문법적 쌍에 대해 이 구성법을 적용하여 종속형 이론의 C-계열을 회복하기 위해.
• 모나드와 모듈의 프레임워크를 사용하여 마르틴-lö프 형 판단(예: 문맥 형성, 형 형성)의 의미론을 형식화하기 위해.
• 종속형 이론에서의 네 가지 표준 판단 형태가 구성된 C-계열 내의 정규 동치관계와 부분-C-계열과 정확히 일치함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 집합 위의 모나드 R과 그 위의 왼쪽 R-모듈 LM(값이 집합인)으로부터 C-계열 CC(R, LM)을 구성한다.
• 문헌 [15]의 결과를 활용하여, R과 LM로부터 파생된 구조를 통해 CC(R, LM)의 모든 C-부분계열과 정규 몫을 기술한다.
• CC(R, LM) 위에서 연산 σ와 eσ를 정의하고, 이러한 연산과 호환되는 정규 동치관계를 연구한다.
• 명칭 서명에 이 프레임워크를 적용하며, 여기서 R(X)와 LM(X)는 X에 자유 변수를 가진 표현의 α-등가류의 집합이다.
• 네 가지 표준 판단 형태(문맥, 형, 형 등가, 항 등가)를 C-계열의 부분집합 C, eC, Ceq, gCeq로 식별한다.
• 임의의 정규 동치관계를 가진 부분-C-계열은 이러한 네 부분집합의 쌍을 유도하며, 그 역도 마찬가지로 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 집합 위의 모나드와 그 위의 왼쪽 모듈로부터 C-계열을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 C-계열의 모든 C-부분계열과 정규 몫은 모나드와 모듈에 대해 어떻게 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ3 종속형 이론에서의 네 가지 표준 판단 형태(문맥, 형, 형 등가, 항 등가)는 구성된 C-계열의 범주론적 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 일반화된 대수적 이론과 마르틴-lö프 형 이론의 C-계열은 이 구성의 특수한 사례로서 회복될 수 있는가?
• RQ5 α-등가와 명칭 서명은 종속형 이론 체계의 범주론적 의미론에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모나드 R와 집합 위의 왼쪽 R-모듈 LM에 대해 임의로 구성된 CC(R, LM)는 형 이론적 의미론을 위한 일반적인 프레임워크를 제공하는 C-계열을 유도한다.
• CC(R, LM)의 모든 C-부분계열과 정규 몫은 [15]의 기법을 통해 R과 LM와 직접 연결된 자료에 의해 완전히 특성화된다.
• 명칭 서명에서 파생된 R과 LM에 대해, 종속형 이론의 네 가지 표준 판단 형태는 CC(R, LM)의 특정 부분집합 C, eC, Ceq, gCeq와 일대일 대응된다.
• λ-계산 서명에 대해 이 구성은 α-등가류의 λ-항을 포함하는 순수 형 이론의 C-계열을 회복한다.
• 이 프레임워크는 유형화된 λ-계산 표현에서 치환의 전체 모나드적 구조를 복원할 수 없음을 보여주며, 바인딩을 포함한 문법의 모나드와 모듈의 사용을 정당화한다.
• 이 구성은 기존의 일반화된 대수적 이론과 마르틴-lö프 형 이론의 C-계열을 특수한 경우로 일반화하며, 이들의 의미론을 하나의 범주론적 프레임워크 아래 통합한다.