[논문 리뷰] Caccioppoli--type estimates and Hardy--type inequalities derived from degenerated $p$--harmonic problems

Pavel Drábek, Agnieszka Kałamajska외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가중치 p-라플라시안 연산자를 포함하는 열화된 p-조화 부등식의 비음수 해에 대해 Caccioppoli 유형의 추정을 수립한다. 이러한 추정을 바탕으로, 초등수해의 해로부터 유도된 최적 상수를 가진 가중 소볼레프 공간 내에서 정밀한 하디 유형의 부등식을 도출하며, 이는 기존 결과를 열화된 설정으로 확장하고 비열화된 경우에도 새로운 부등식을 제공한다.

ABSTRACT

We obtain Caccioppoli--type estimates for nontrivial and nonnegative solutions to the anticoercive partial differential inequalities of elliptic type involving degenerated $p$--Laplacian: $-Δ_{p,a} u:= -\mathrm{div}(a(x)| a u|^{p-2} a u)\ge b(x)Φ(u)$, where $u$ is defined in a domain $Ω$. Using Caccioppoli--type estimates, we obtain several variants of Hardy--type inequalities in weighted Sobolev spaces.

연구 동기 및 목표

• 열화된 p-라플라시안 부등식 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ 의 비자명하고 음수 아닌 해에 대해 Caccioppoli 유형의 추정을 수립한다.
• 이러한 추정을 사용하여 최적 상수를 가진 가중 소볼레프 공간 내에서 명시적인 하디 유형의 부등식을 구성한다.
• 열화된 가중치와 비선형성을 통합하여 기존 하디 부등식 결과를 일반화한다.
• 비자명하고 음수 아닌 초해가 존재할 경우 유도된 부등식의 최적 상수가 $C=1$임을 보여준다.
• 비열화된 경우($a \equiv 1$)의 이전 결과를 확장하고, 반경형 가중치 구조에서 $r \neq 1$인 경우에도 새로운 부등식을 제공한다.

제안 방법

• 테스트 함수와 부분 적분을 사용하여 비음수 해에 대해 열화된 $p$-라플라시안 부등식 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ 에 대한 Caccioppoli 유형 추정(정리 3.1)을 유도한다.
• 해 $u$, $a(x)$, $b(x)$, $\Phi(u)$ 를 포함하는 측도 $\mu_1$ 및 $\mu_2$ 를 사용하여 $\int_\Omega |\xi|^p \mu_1(dx) \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p \mu_2(dx)$ 형태의 하디 유형 부등식을 구성한다.
• $\Phi(u) = u^{p-1}$ 및 $\Psi(t) = t^{-(p-1)}$ 인 경우에 적용하여 부등식 $\int_\Omega |\xi|^p b(x)dx \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p a(x)dx$ 를 도출한다.
• 비자명하고 음수 아닌 초해 $u_0$ 가 존재하여 $-\Delta_{p,a}u_0 = b(x)u_0^{p-1}$ 를 만족할 경우, 부등식에서 상수 $C=1$ 이 최적임을 증명한다.
• 반경형 가중치 $v_1(x) = (1 + r|x|^{p/(p-1)}) (1 + |x|^{p/(p-1)})^{\gamma(p-1)-p}$ 와 $v_2(x) = (1 + |x|^{p/(p-1)})^{(p-1)\gamma}$ 를 사용하여 명시적인 최적 하드이-파운카레 부등식을 구성한다.
• 특정 조건 하에서 $\gamma$, $r$, $n$, $p$ 에 대해 최적 상수 $\bar{C}_{\gamma,n,p,r} = n\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p-1}\left(\gamma - 1 + \frac{n}{p}(1 - r)\right)^{p-1}$ 을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 가중치와 비선형성을 가진 열화된 $p$-라플라시안 부등식의 비자명하고 음수 아닌 해에 대해 Caccioppoli 유형의 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ2 이러한 Caccioppoli 추정은 어떻게 가중 소볼레프 공간 내 하디 유형의 부등식을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 유도된 하디 부등식의 상수가 최적임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비열화된 경우($a \equiv 1$)에도 유효하고 정밀한 새로운 하디 유형의 부등식을 구성할 수 있는가?
• RQ5 반경형 가중치를 포함하는 하드이-파운카레 부등식의 명시적 형태와 최적성은 파arameter $\gamma$, $r$, $p$, $n$ 에 따라 어떻게 결정되는가?

주요 결과

• 해 $u$ 가 도메인 $\Omega$ 내에서 임의의 음수 아닌 해일 경우, $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ 에 대해 Caccioppoli 유형의 추정이 수립된다.
• 모든 리프시츠 컴acts지지 함수 $\xi$ 에 대해 $\int_\Omega |\xi|^p b(x)dx \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p a(x)dx$ 형태의 유도된 하디 유형 부등식이 성립하며, 초해 $u_0$ 가 존재할 경우 상수 $C=1$ 이 최적임을 확인한다.
• 가중치가 $r$, $\gamma$, $p$, $n$ 에 따라 달라지는 반경형 하드이-파운카레 부등식의 한 클래스에 대해 최적 상수 $\bar{C}_{\gamma,n,p,r} = n\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p-1}\left(\gamma - 1 + \frac{n}{p}(1 - r)\right)^{p-1}$ 이 도출된다.
• 상수의 최적성은 $\gamma > nr + 1 - \frac{n}{p}$ 이거나 $\gamma = 1 + n(1 - \frac{1}{p})$ 이고 $r = 1$ 일 경우에 확인된다.
• D’Ambrosio, Barbatis, Filippas, Tertikas의 이전 작업을 일반화하며, 열화된 설정과 새로운 가중치 구조로 알려진 부등식을 확장한다.
• 비열화된 경우($a \equiv 1$)에도 새로운 부등식이 도출되며, 특히 $r \neq 1$ 인 경우 기존 결과(예: [41])에서 다루지 않은 영역을 포함한다.