[논문 리뷰] ${\cal H}$-cohomologies versus algebraic cycles

Luca Barbieri-Viale|ArXiv.org|1994. 08. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 부드러운 대수기하학적 다양체에 대한 일반화된 코homology 이론으로 ${\cal H}$-cohomology를 도입하여, Poincaré 대칭성과 cup 곱 구조를 통해 고전적 교차환론을 통합한다. Gysin 사상, 프로젝티브 번들의 정리, 그리고 블로우업 공식과 같은 기본 성질를 확립하면서, Quillen K-이론에서 ${\cal H}$-cohomology로의 캐런 클래스를 구성함으로써 Grothendieck와 Gillet의 프레임워크를 확장한다.

ABSTRACT

Global intersection theories for smooth algebraic varieties via products in {\it appropriate}\, Poincaré duality theories are obtained. We assume given a (twisted) cohomology theory $H^*$ having a cup product structure and we let consider the ${\cal H}$-cohomology functor $X\leadsto H^{\#}_{Zar}(X,{\cal H}^*)$ where ${\cal H}^*$ is the Zariski sheaf associated to $H^*$. We show that the ${\cal H}$-cohomology rings generalize the classical ``intersection rings'' obtained via rational or algebraic equivalences. Several basic properties e.g.\, Gysin maps, projection formula and projective bundle decomposition, of ${\cal H}$-cohomology are obtained. We therefore obtain, for $X$ smooth, Chern classes $c_{p,i} : K_i(X) o H^{p-i}(X,{\cal H}^p)$ from the Quillen $K$-theory to ${\cal H}$-cohomologies according with Gillet and Grothendieck. We finally obtain the ``blow-up formula'' $$H^p(X',{\cal H}^q) \cong H^p(X,{\cal H}^q)\oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z,{\cal H}^{q-1-i})$$ where $X'$ is the blow-up of $X$ smooth, along a closed smooth subset $Z$ of pure codimension $c$. Singular cohomology of associated analityc space, étale cohomology, de Rham and Deligne-Beilinson cohomologies are examples for this setting.

연구 동기 및 목표

• 합리적 또는 대수적 동치를 통한 정의된 고전적 교차환론을 cup 곱 곱셈 구조를 갖춘 코homology 이론을 통해 일반화하기 위해.
• Poincaré 대칭성과 Gysin 사상, 프로젝티브 번들의 분해와 같은 표준 연산을 지원하는 ${\cal H}$-cohomology의 통합 프레임워크를 개발하기 위해.
• Quillen K-이론에서 ${\cal H}$-cohomology로의 캐런 클래스를 구성하여 Grothendieck와 Gillet의 기대에 부합시키기 위해.
• 예외적 인자와 그의 변형을 통해 ${\cal H}$-cohomology의 정확한 블로우업 공식을 유도하기 위해.
• 표준 코homology 이론—일반적, \'etale, de Rham, Deligne-Beilinson—이 이 프레임워크에 자연스럽게 들어가는지 보여주기 위해.

제안 방법

• ${\cal H}$-cohomology를 $H^\#_{\text{Zar}}(X, {\cal H}^*)$로 정의하며, 여기서 ${\cal H}^*$는 주어진 코homology 이론 $H^*$의 sheafification이다.
• $H^*$의 cup 곱 곱셈 구조를 이용하여 ${\cal H}$-cohomology에 링 구조를 도입함으로써 고전적 교차환론을 일반화한다.
• 부드러운 사상의 맥락에서 Poincaré 대칭성과 상대적 대칭성을 활용하여 Gysin 사상과 프로젝션 공식을 확립한다.
• 표준적인 대수기하학적 방법을 응용하여, ${\cal H}$-cohomology에 대한 프로젝티브 번들의 분해 정리를 증명한다.
• 절단과 국소화 기법을 통해 $H^p(X', {\cal H}^q) \cong H^p(X, {\cal H}^q) \oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z, {\cal H}^{q-1-i})$의 블로우업 공식을 도출한다.
• K-이론의 보편 성질과 ${\cal H}$-cohomology 내의 캐런 특성을 활용하여 $c_{p,i} : K_i(X) \to H^{p-i}(X, {\cal H}^p)$의 캐런 클래스를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 cup 곱 곱셈 구조를 갖춘 코homology 이론이 합리적 또는 대수적 동치를 통한 정의된 고전적 교차환론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 ${\cal H}$-cohomology에 확장 가능한 구조적 성질—예를 들어 Gysin 사상과 프로젝티브 번들의 정리—는 무엇인가?
• RQ3 ${\cal H}$-cohomology에 대한 블로우업 공식은 예외적 인자의 기하학적 성질과 그의 코드림을 반영할 수 있는가?
• RQ4 Quillen K-이론에서 ${\cal H}$-cohomology로의 캐런 클래스는 어떻게 통합되며, 기대되는 성질을 만족하는가?
• RQ5 일반적, de Rham, \'etale, 또는 Singular 코homology 이론과 같은 표준 코homology 이론들은 ${\cal H}$-cohomology를 정의하기 위해 필요한 공리들을 만족하는가?

주요 결과

• ${\cal H}$-cohomology 링은 합리적 또는 대수적 동치를 통한 정의된 고전적 교차환론을 일반화하여 통합된 코homological 프레임워크를 제공한다.
• 부드러운 중심의 코드림 $c$를 가진 부드러운 블로우업에 대해 블로우업 공식 $H^p(X', {\cal H}^q) \cong H^p(X, {\cal H}^q) \oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z, {\cal H}^{q-1-i})$ 가 확립된다.
• Gysin 사상과 프로젝션 공식이 ${\cal H}$-cohomology에 대해 구성되어 있으며, 이는 표준적인 대수기하학적 도구를 이 코homological 설정으로 확장한다.
• 프로젝티브 번들의 분해 정리는 ${\cal H}$-cohomology에 대해 성립하며, 이는 프로젝티브 번들의 코homology가 기반에 대한 직합으로 분해됨을 의미한다.
• Quillen K-이론에서 ${\cal H}$-cohomology로의 캐런 클래스 $c_{p,i} : K_i(X) \to H^{p-i}(X, {\cal H}^p)$ 가 구성되며, Grothendieck–Gillet 프레임워크와 호환된다.
• 관련 분석 공간의 일반적 코homology, \'etale 코homology, de Rham 코호몰로지, Deligne–Beilinson 코호몰로지 이론들은 모두 ${\cal H}$-cohomology를 정의하기 위한 공리들을 만족하며, 광범위한 적용 가능성을 보여준다.