[논문 리뷰] Calculating the linear response functions of non-interacting electrons by the time-dependent Schroedinger equation

Toshiaki Iitaka, Shintaro Nomura외 4명|arXiv (Cornell University)|1997. 03. 26.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비상호작용 전자 시스템의 선형 응답 함수를 계산하기 위해 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 공간적으로 이산화한 후 수치적으로 풀이하는 O(N) 알고리즘을 제시한다. 행렬 대각화를 피하고 큰 상태 벡터를 외부 메모리에 저장할 필요가 없기 때문에, 수천 개의 원자를 포함하는 시스템에 대해 효율적이고 확장 가능한 계산이 가능해지며, 기존 방법에 비해 계산 비용을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

An O(N) algorithm is proposed for calculating linear response functions of non-interacting electrons in arbitray potential. This algorithm is based on numerical solution of the time-dependent Schroedinger equation discretized in space, and suitable to parallel- and vector- computation. Since it avoids O(N^3) computational effort of matrix diagonalization, it requires only O(N) computational effort where N is the dimension of the statevector. This O(N) algorithm is very effective for systems consisting of thousands of atoms, since otherwise we have to calculate large number of eigenstates, i.e., the occupied one-electron states up to the Fermi energy and the unoccupied states with higher energy. The advantage of this method compared to the Chebyshev polynomial method recently developed by Wang (L.W. Wang, Phys. Rev. B49, 10154 (1994);L.W. Wang, Phys. Rev. Lett. 73, 1039 (1994)) is that our method can calculate linear response functions without any storage of huge statevectors on external storage. Therefore it can treat much larger systems.

연구 동기 및 목표

• 임의의 잠재력 내에서 비상호작용 전자 시스템의 선형 응답 함수를 계산하는 데 있어 계산 효율성을 높이는 방법을 개발하는 것.
• 대규모 시스템에서 전통적인 고유값 대각화 방법의 O(N³) 스케일링 문제를 해결하는 것.
• 외부 메모리에 큰 상태 벡터를 저장할 필요를 제거하여 더 큰 시스템을 다룰 수 있도록 하는 것.
• 수치적으로 안정적이며 병렬 및 벡터 계산 환경에 적합한 선형 응답 계산 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 공간 이산화한 후 직접 큰 해밀토니안 행렬의 대각화 없이 수치적으로 풀이한다.
• 시간 단계 적분 기법을 사용하여 외부 장에 의해 영향을 받는 파동함수를 시간에 따라 전파함으로써 직접 응답 함수를 계산한다.
• 고유상태 분해를 피하기 때문에 상태 벡터의 차원 N에 대해 O(N)의 계산 복잡도를 달성한다.
• 시간 진동에서 국소적 업데이트가 일어나기 때문에 병렬 및 벡터 연산에 자연스럽게 적합하다.
• 모든 점유 및 비점유 상태를 저장하지 않기 때문에 메모리 오버헤드를 줄인다.
• 시간 진동 연산자의 구조를 활용하여 응답 성질을 효율적으로 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 대각화 없이도 비상호작용 전자 시스템의 선형 응답 함수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 대규모 시스템에서 기존 방법의 O(N³) 스케일링 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 외부 메모리에 큰 상태 벡터를 저장하지 않고도 응답 계산을 수행할 수 있는가?
• RQ4 기존 방법에 비해 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 응답 함수 계산에 적용했을 때의 계산 및 메모리 효율성은 어떠한가?
• RQ5 이 방법은 수천 개의 원자를 포함하는 시스템까지 얼마나 잘 스케일링될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 O(N) 계산 복잡도를 달성하여 기존 표준 대각화 방법의 O(N³) 스케일링에 비해 비용을 극적으로 감소시킨다.
• 큰 상태 벡터를 저장하지 않기 때문에 수천 개의 원자를 포함하는 시스템의 계산이 가능해진다.
• 외부 저장소에 파동함수를 저장할 필요가 없어지므로 이전 방법보다 훨씬 큰 시스템을 다룰 수 있게 된다.
• 병렬 및 벡터 계산 환경에 매우 적합하여 계산 처리량을 크게 향상시킨다.
• 페르미 수준까지의 모든 고유상태를 명시적으로 계산할 필요 없이 정확한 선형 응답 함수를 제공한다.
• 체비셰프 다항식 방법에 비해 중간 상태 벡터를 저장하는 데 발생하는 메모리 병목 현상을 피할 수 있다.