[논문 리뷰] Calculation of oblate spheroidal wave functions with complex argument

A. L. Van Buren|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 31.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 실수 크기 매개변수에 대한 이전 작업을 확장하여 복소수 매개변수를 가진 타원 쌍곡선 파면 함수를 계산하는 안정적인 수치적 방법을 제시한다. 행렬 기반 고유값 계산을 수정하고, 타원형에 유사한 고유값에 대해 渐近 근사법을 적용하여, 복소수 크기 매개변수의 넓은 범위에서 정확한 결과를 이끌어내며, 복소수 성분이 크더라도 双정밀도 산술을 사용하여 안정적인 계산이 가능하다. 이는 무료로 이용 가능한 포트란 코드 coblfcn 를 통해 실현된다.

ABSTRACT

A previous article showed that alternative expressions for calculating oblate spheroidal radial functions of both kinds can provide accurate values over very large parameter ranges using double precision arithmetic, even where the traditional expressions fail. The size parameter c was assumed real. This paper considers the case where c = cr + ici is complex with an imaginary part ci often used to represent losses in wave behavior. The methods for c real modified to complex arithmetic work reasonably well as long as ci is very small. This paper describes the substantial changes necessary to obtain useful results for larger values of ci. It shows that accurate eigenvalues can usually be obtained even though the matrix methods used to obtain them for c real provide increasingly inaccurate values, primarily for those with relatively small magnitude, as ci increases. It also shows that some of the eigenvalues can be prolate-like with values that are well approximated using asymptotic estimates for prolate eigenvalues where c is replaced with -ic. A method to order the eigenvalues is presented. The modifications necessary to compute accurately the radial and angular functions for complex c are discussed. A resulting Fortran program coblfcn provides useful function values for a reasonably wide range of c, the order m, and the radial coordinate when using double precision arithmetic. The results can be improved by using quadruple precision for the Bouwkamp procedure to ensure accurate double precision eigenvalues. Further improvement is obtained using full quadruple precision. Coblfcn is freely available at www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com

연구 동기 및 목표

• 복소수 크기 매개변수, 특히 파동 손실을 나타내는 허수 부분이 있는 경우에도 타원 쌍곡선 파면 함수의 정확한 계산을 확장하는 것.
• 크기 매개변수의 허수 부분이 증가함에 따라 기존의 행렬 기반 고유값 계산 방법이 실패하는 문제를 해결하는 것.
• 복소수 매개변수를 위한 이중 정밀도 산술을 사용하여 반경 및 각도 함수의 순서와 계산을 신뢰성 있게 수행하는 방법을 개발하는 것.
• 실제 과학 및 공학 응용 분야에서 활용 가능한 무료로 이용 가능한 수치적으로 안정적인 포트란 구현체(coblfcn)를 제공하는 것.
• 복합수 매개변수 영역에서 이중 정밀도 고유값의 정확도를 향상시키기 위한 사중 정밀도 보정의 효과를 평가하는 것.

제안 방법

• 실수 크기 매개변수를 위한 원래 설계된 행렬 기반 고유값 계산 기법을 복소수 산술에 적응시키되, 수치적 안정성을 유지하기 위해 수정하는 것.
• 복소수 크기 매개변수 c 를 -ic 로 대체하여 타원 쌍곡선 고유값에 대한 渐近 근사법을 적용하여, 타원형 모드와 유사하게 행동하는 고유값을 근사하는 것.
• 사중 정밀도 산술을 사용한 수정된 Bouwkamp 절차를 구현하여 이중 정밀도 고유값 계산의 정확도를 향상시키는 것.
• 크기와 渐近 행동을 기반으로 한 일관된 고유값 순서 정책을 개발하여, 매개변수 범위 전반에서 정확한 레이블링을 보장하는 것.
• 반경 및 각도 함수의 재귀 관계와 정규화 절차를 수정하여 복소수 매개변수를 다룰 때 정밀도 손실 없이 처리할 수 있도록 하는 것.
• 모든 구성 요소를 실용적 사용을 고려한 포트란 프로그램 coblfcn 으로 통합하고, 입력 검증 및 강력한 오류 처리 기능을 포함하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 매개변수 c 가 상당한 허수 부분을 가질 경우, 실수 c 를 위한 기존의 행렬 기반 고유값 계산 방법이 정확하게 유지될 수 있는가?
• RQ2 복소수 c 영역에서 타원 쌍곡선 고유값과 유사한 행동을 보이는 고유값은 어떻게 식별하고 근사할 수 있는가?
• RQ3 c 가 복소수이고 |ci| 가 클 경우, 기존 알고리즘에 어떤 수정이 필요하여 수치 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 복합수 매개변수 영역에서 사중 정밀도 산술이 이중 정밀도 고유값의 정확도를 어느 정도 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 단일의 안정적인 포트란 구현체가 넓은 범위의 복소수 c 값에서 고유값과 함수를 신뢰성 있게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 실수 c 를 위한 기존의 행렬 방법은 c 의 허수 부분이 작은 경우는 유용하지만, |ci| 가 증가함에 따라 정확도를 유지하기 위해 상당한 수정이 필요하다.
• 표준 행렬 방법을 사용할 경우, 크기가 작은 고유값은 ci 가 증가함에 따라 점점 더 정확도가 떨어지지만, 제안된 수정을 통해 정확도가 복원된다.
• 일부 복소수 c 의 고유값은 타원형 행동을 보이며, 매개변수 -ic 를 가진 타원 쌍곡선 함수에 대해 유도된 渐近 근사법으로 잘 근사할 수 있다.
• 제안된 고유값 순서 정책은 고유값 크기가 교차하는 경우조차도 전체 복소수 c 범위에서 고유값을 정확히 구분하고 순서를 정리하는 데 성공했다.
• 포트란 코드 coblfcn 은 이중 정밀도 산술을 사용하여 m, c(복소수 포함), 반경 좌표의 넓은 범위에서 정확한 함수 값을 산출한다.
• Bouwkamp 절차에서 사중 정밀도 산술을 적용하면 고유값 정확도가 크게 향상되며, 전체 사중 정밀도를 적용할 경우 추가적인 향상이 이루어진다.