[논문 리뷰] Calibrated Fibrations on Complete Manifolds via Torus Action

Edward Goldstein|ArXiv.org|2000. 02. 14.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 토러스 계수가 $ n-1 $ 이고 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 인 완전한 칼라비-유만에서 해밀토니안 토러스 작용을 하는 경우, 특수 라그랑주(SLag) 부분다양체로 이루어진 캘리브레이티드 필라션을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 심플렉틱 축소가 해석적 부피형식을 유지하고, 축소된 공간의 SLag 부분다양체가 원래 다양체에서 $ T^k $-불변 SLag 부분다양체로 올라간다는 것을 의미한다. 주요 기여는 칼라비-유만의 캐논리컬 번들의 경우와 $ G \subset SU(n) $ 인 아벨 군에 의한 $ \mathbb{C}^n / G $ 의 크립탄트 해소에 대해 비콤팩트 형태의 SYZ 추측을 제안하고 검증한 것이다.

ABSTRACT

In this paper we will investigate torus actions on complete manifolds with calibrations. For Calabi-Yau manifolds M^2n with a Hamiltonian structure-preserving k-torus action we show that any symplectic reduction has a natural holomorphic volume form. Moreover Special Lagrangian (SLag) submanifolds of the reduction lift to SLag submanifolds of M, invariant under the torus action. If k=n-1 and the first cohomology of M is trivial, then we prove that M is a fibration with generic fiber being a SLag submanifold. As an application we will see that crepant resolutions of singularities of a finite Abelian subgroup of SU(n) acting on C^n have SLag fibrations. We study SLag submanifolds on the total space K(N) of a canonical bundle of a Kahler-Einstein manifold N with positive scalar curvature. We give a conjecture about fibration of K(N) by SLag subvarieties with a certain asymptotic behavior at infinity, which we prove if N is toric. We also get similar results for coassociative submanifolds of a G_2-manifold M^7, which admits a 3-torus, a 2-torus or an SO(3)-action.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 칼라비-유만 다양체에 대해 토러스 작용을 이용한 캘리브레이티드 필라션을 구성하는 것.
• 해밀토니안 토러스 작용의 심플렉틱 축소가 해석적 부피형식을 유지하고, 캘리브레이티드 구조를 보존한다는 것을 증명하는 것.
• 양의 곡률을 가진 칼라비-유만-아인슈타인 다양체의 캐논리컬 번들의 비콤팩트 형태의 SYZ 추측을 수립하는 것.
• 3-토러스, 2-토러스 또는 $ SO(3) $ 작용에 대해 $ G_2 $-다양체로 프레임워크를 확장하여 코아소시아티브 부분다양체로 이루어진 필라션을 보여주는 것.
• 유한 아벨 군 $ G \subset SU(n) $ 에 대해 $ \mathbb{C}^n / G $ 의 크립탄트 해소가 토러스 작용을 통해 SLag 필라션을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 완전한 칼라비-유만 다양체에서 해밀토니안 $ T^k $-작용을 이용해 모멘트 맵과 심플렉틱 축소를 정의하는 것.
• 심플렉틱 축소 $ M_{\text{red}} $ 가 원래 다양체로부터 자연스러운 해석적 부피형식 $ \varphi_{\text{red}} $ 를 상속받음을 증명하는 것.
• SLag 부분다양체를 $ M_{\text{red}} $ 에서 $ T^k $-불변 SLag 부분다양체로 $ M $ 으로 올리는 것과, 그 반대도 작용이 자유로울 경우 성립함을 보이는 것.
• 정리 2를 적용하여 $ k = n-1 $ 이고 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 일 때, $ M $ 이 $ \mathbb{R}^n $ 으로의 캘리브레이티드 필라션을 가지며, 일반적인 섬유는 $ T^{n-1} \times \mathbb{R} $ 와 위상동형임을 보이는 것.
• 모멘트 맵 $ \mu' = u \pi^{-1}(\mu) $ 와 수준집합 $ u(|\xi|^2)\mu_i(\pi(\xi)) = c_i $, $ \operatorname{Im} \xi(X_1,\dots,X_n) = c_n $ 을 사용해 $ K(N) $ 에서의 SLag 섬유를 정의하는 것.
• $ G_2 $-다양체에서 3-토러스, 2-토러스 또는 $ SO(3) $ 작용에 대한 결과를 적용하여, 축소와 불변성을 통해 코아소시아티브 부분다양체로 이루어진 필라션을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 칼라비-유만 다양체에 해밀토니안 토러스 작용이 존재할 때, 어떤 조건에서 특수 라그랑주 부분다양체로 이루어진 캘리브레이티드 필라션을 갖는가?
• RQ2 해밀토니안 토러스 작용의 심플렉틱 축소가 어떻게 해석적 부피형식과 캘리브레이티드 구조를 상속하는가?
• RQ3 비콤팩트 칼라비-유만 다양체에 대해 SYZ 추측을 확장할 수 있는가, 특히 양의 곡률을 가진 칼라비-유만-아인슈타인 다양체의 캐논리컬 번들에 대해 가능한가?
• RQ4 유한 아벨 군 $ G \subset SU(n) $ 에 대해 $ \mathbb{C}^n / G $ 의 크립탄트 해소가 토러스 작용을 통해 SLag 필라션을 갖는가?
• RQ5 3-토러스, 2-토러스 또는 $ SO(3) $ 작용을 갖는 $ G_2 $-다양체에서 코아소시아티브 필라션의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 해밀토니안 $ T^k $-작용을 하는 칼라비-유만 다양체 $ M^{2n} $ 에서 심플렉틱 축소 $ M_{\text{red}} $ 는 자연스러운 해석적 부피형식 $ \varphi_{\text{red}} $ 를 상속받는다.
• SLag 부분다양체는 $ M_{\text{red}} $ 에서 $ T^k $-불변 SLag 부분다양체로 $ M $ 으로 올라가며, 작용이 부분다양체에서 자유로울 경우 그 반대도 성립한다.
• $ k = n-1 $ 이고 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 일 때, $ M $ 은 $ \mathbb{R}^n $ 으로의 캘리브레이티드 필라션을 가지며, 일반적인 섬유는 $ T^{n-1} \times \mathbb{R} $ 와 위상동형이다.
• 칼라비-유만 다양체 $ N $ 의 캐논리컬 번들 $ K(N) $ 에서의 필라션 섬유는 무한대에서 $ L_0 $ 에 수렴하며, $ L_0 $ 은 $ c_i = 0 $ 에 대응하는 섬유이다.
• $ G \subset SU(n) $ 인 아벨 군에 의한 $ \mathbb{C}^n / G $ 의 크립탄트 해소에서, 대각선 작용에 의해 유도된 $ T^{n-1} $-작용은 해소로 올라가며 SLag 필라션을 유도한다.
• $ SO(3) $-작용을 갖는 $ G_2 $-다양체에서 정상점들은 $ SO(3) \times \mathbb{R} $ 와 위상동형인 교차하지 않는 코아소시아티브 부분다양체로 덮어지며, 전체 공간은 서로 다른 유형의 이러한 부분다양체들로 덮어진다.