[논문 리뷰] Calibrating Multivariate Lévy Processes with Neural Networks

Kailai Xu, Eric Darve|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Probability and Risk Models참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 뎀프 레비 과정의 캘리브레이션을 위해 신경망 기반 비모수적 방법을 제안한다. 레비 밀도를 딥 뉴럴 네트워크를 사용해 근사하고, 수치적 적분을 통해 특성 함수를 추정하며, 경험적 특성 함수와 모델 특성 함수 간의 이질성(차이)을 최소화한다. 이 방법은 조각별 선형 함수와 라디얼 기저 함수보다 날카러운 전이를 더 잘 포착하고 노이즈에 더 강건하여, 특히 다변량, 비연속적인 레비 밀도 추정에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

Calibrating a Lévy process usually requires characterizing its jump distribution. Traditionally this problem can be solved with nonparametric estimation using the empirical characteristic functions (ECF), assuming certain regularity, and results to date are mostly in 1D. For multivariate Lévy processes and less smooth Lévy densities, the problem becomes challenging as ECFs decay slowly and have large uncertainty because of limited observations. We solve this problem by approximating the Lévy density with a parametrized functional form; the characteristic function is then estimated using numerical integration. In our benchmarks, we used deep neural networks and found that they are robust and can capture sharp transitions in the Lévy density. They perform favorably compared to piecewise linear functions and radial basis functions. The methods and techniques developed here apply to many other problems that involve nonparametric estimation of functions embedded in a system model.

연구 동기 및 목표

• 비연속적이고 노이즈가 있는 레비 밀도를 가진 다변량 레비 과정의 비모수적 캘리브레이션 문제를 해결하기 위해.
• 고차원에서나 비연속 밀도에 대해 전통적인 경험적 특성 함수 탈복원(디컨볼루션) 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 저주파수 관측 환경 하에서 신경망, 조각별 선형 함수, 라디얼 기저 함수의 레비 밀도 근사 성능을 평가하기 위해.
• 모델 특성 함수를 경험적 특성 함수와 일치시키는 강력한 기울기 기반 최적화 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 신경망을 주요 후보로 삼아, 레비 밀도 ν(x)를 매개변수화된 함수 형태 νθ(x)로 근사한다.
• 레비-힌친 기반 표현을 사용하여, 노드와 가중치 집합에 대한 수치 적분(수치적 구적)을 통해 특성 함수 φθ(ξ)를 추정한다.
• 등간격으로 관측된 증분 과정으로부터 경험적 특성 함수 ˆφn(ξ)를 계산한다.
• 경계 조건 점 ξi에서 ˆφn(ξi)와 φθ(ξi) 사이의 평균 제곱오차를 최소화하는 최적화 문제를 설정하고, 기울기 기반 최적화를 사용한다.
• 유일한 근사 능력, 노이즈에 대한 강건성, 비연속성의 포착 능력 덕분에 딥 뉴럴 네트워크를 기능 형태로 사용한다.
• 성능 검증을 위해 합성 2D 레비 과정과 실제 주식 시장 로그 수익률에 이 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 방법이 실패하는 고차원 비연속 레비 밀도에서 딥 뉴럴 네트워크가 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 노이즈와 제한된 데이터 하에서 레비 밀도 추정 시 신경망의 성능이 조각별 선형 함수와 라디얼 기저 함수보다 어떻게 뛰어나게 되는가?
• RQ3 특히 비연속성 근처에서 레비 밀도의 급격한 전이를 얼마나 잘 포착할 수 있는가?
• RQ4 유한한 표본 크기로 인해 경험적 특성 함수가 노이즈가 많을 경우에도 이 방법이 강건하게 유지되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 실제 금융 데이터에 성공적으로 적용되어 다변량 자산 수익률의 점프 역학을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 신경망은 특히 조각별 선형 함수와 라디얼 기저 함수보다 레비 밀도의 날카운 전이를 더 잘 포착한다. 이는 2D에서 잘라낸 정규분포와 같은 비연속 케이스에서 특히 두드러진다.
• 2D 잘라낸 정규분포 레비 밀도의 경우, 신경망은 축을 따라 날카운 경계를 정확히 복원하지만, 조각별 선형 함수는 아티팩트를 생성하고, 라디얼 기저 함수는 비연속성 주변을 부드럽게 처리하여 왜곡된다.
• 1000개의 관측치가 있을 때, 신경망은 높은 노이즈 조건에서도 강건한 성능 유지를 보이며, 반면 라디얼 기저 함수와 조각별 선형 함수는 심각한 성능 저하를 보인다.
• 실제 주식 시장 응용에서, 쌍별 α 지수는 1.1에서 1.5 사이로 변동하여 로그 수익률에 점프가 존재하는 것으로 나타났고, 캘리브레이션된 Γθ(s)는 네 가지 주요 점프 방향을 드러냈다.
• 이 방법은 EOG 대 MSFT 수익률 간의 방향성 점프 경향을 성공적으로 식별하였으며, 캘리브레이션된 Γθ(s) 함수에 네 개의 뚜렷한 피크가 존재하여, 모델이 체계적인 점프 역학을 탐지할 수 있음을 확인했다.