[논문 리뷰] Calibration of Chaotic Models for Interest Rates

Matheus R. Grasselli, Tsunehiro Tsujimoto|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식-지수 매개변수화를 통한 위너 색채 계수의 새로운 校정 프레임워크를 제안하여 분석적 취급 가능성과 보장된 양성(positivity)을 가능하게 한다. 이는 하나의 변수를 가진 3차 색채 모델이 옵션 가격 설정에서 터널-화이트 모델과 합리적 로그정규 모델을 능가하고, 더 적은 파라미터로 LIBOR 마켓 모델 성능을 재현함을 보여주며, 수익률 구조와 옵션 데이터 캘리브레이션을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

In this paper we calibrate chaotic models for interest rates to market data using a polynomial-exponential parametrization for the chaos coefficients. We identify a subclass of one-variable models that allow us to introduce complexity from higher order chaos in a controlled way while retaining considerable analytic tractability. In particular we derive explicit expressions for bond and option prices in a one-variable third chaos model in terms of elementary combinations of normal density and cumulative distribution functions. We then compare the calibration performance of chaos models with that of well-known benchmark models. For term structure calibration we find that chaos models are comparable to the Svensson model, with the advantage of guaranteed positivity and consistency with a dynamic stochastic evolution of interest rates. For calibration to option data, chaos models outperform the Hull and White and rational lognormal models and are comparable to LIBOR market models.

연구 동기 및 목표

• 시장 데이터를 활용한 혼돈 이자율 모델에 대한 실용적인 校정 방법론을 개발하기 위해.
• 전통적 모델이 이자율 변화 과정에서 양성과 동적 일치성(동적 일致성)을 확보하는 데에 한계를 가진 문제를 해결하기 위해.
• 혼탁 모델이 수익률 곡선과 옵션 가격을 동시에 적합시키는 데서 터널-화이트, 합리적 로그정규, LIBOR 마켓 모델과 같은 기준 모델을 능가하거나 이를 능가할 수 있는지 평가하기 위해.
• 특히 3차 모델의 경우 채권 및 옵션 가격 설정에서의 분석적 취급 가능성(analytical tractability)을 탐색하기 위해.
• 파라미터 수를 고려한 정보 기준(정보 기준)을 활용해 모델 성능을 평가하여 단순성(파라미터 수의 최소화)을 선호하기 위해.

제안 방법

• 최종 랜덤 변수 $X_{\textbackslash{}infty}$ 의 위너 색채 분해를 통해 무위험 채권 가격을 모델링하고, 조건부 분산을 통해 확률적 단기 이자율을 유도하기 위해.
• 분석적 취급 가능성과 복잡성 제어를 위해 색채 계수에 다항식-지수 매개변수화를 사용하기 위해.
• 표준 정규 밀도 함수와 누적분포함수를 활용해 하나의 변수를 가진 3차 색채 모델에서 채권 및 옵션 가격에 대한 명시적 닫힌 형태의 표현식 유도하기 위해.
• 최소 제곱 최소화 방법을 사용해 관측된 수익률 곡선과 근접한 캡렛/스와프션트 가격을 일일로 校정하기 위해.
• 총 오차, 수익률 오차, 캡렛 오차, 스와프션트 오차 지표를 사용해 다양한 모델 간의 校정 성능 비교하기 위해.
• 모델 적합도 평가를 위해 파라미터 수를 보상하는 AIC(아카이케 정보 기준)를 적용하여 단순한 모델을 선호하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼탁 이자율 모델은 실제 시장 데이터(수익률 곡선과 옵션 가격 포함)에 효과적으로 校정될 수 있는가?
• RQ2 혼탁 모델은 터널-화이트, 합리적 로그정규, LIBOR 마켓 모델과 같은 기준 모델에 비해 수익률 곡선과 옵션 데이터 적합에 있어 어떻게 비교되는가?
• RQ3 고차 색채(예: 3차)의 포함이 성능 향상에 기여하면서도 분석적 취급 가능성은 유지되는가?
• RQ4 각 수익률을 별도의 전방 측도 하에 모델링하지 않고도 전방 수익률 간의 풍부한 상관관계를 모델링할 수 있는가?
• RQ5 정보 기준을 통해 평가했을 때, 더 복잡한 기준 모델인 LIBOR 마켓 모델에 비해 단순한 혼탁 모델이 성능 면에서 뛰어나게 되는가?

주요 결과

• 수익률 곡선 校정에서 혼탁 모델은 셴슨 모델과 유사한 성능를 보이며, 보장된 양성과 완전히 확률적인 이자율 과정과의 일치성이라는 추가 이점이 있다.
• 옵션 데이터 校정에서 혼탁 모델은 터널-화이트 및 합리적 로그정규 모델을 크게 능가하며, LIBOR 마켓 모델 수준의 적합 오차를 보인다.
• 아카이케 정보 기준(AIC)을 사용한 평가에서, 7개의 파라미터를 가진 하나의 변수를 가진 3차 색채 모델은 첫 번째 데이터셋에서는 13개의 파라미터를 가진 LIBOR 마켓 모델을 항상 능가하고, 두 번째 데이터셋에서는 경쟁적인 성능를 보였다.
• 3차 색채 클래스에서 9개의 파라미터를 가진 모델은 첫 번째 데이터셋에서 AIC 기반 모델 선택 빈도가 39/53이며, 두 번째 데이터셋에서도 39/53를 기록했고, 이는 LIBOR 모델이 각각 30/53 및 14/53의 경우에서 성능를 뛰어넘었다.
• 3차 색채 클래스에서 7개의 파라미터를 가진 모델은 첫 번째 데이터셋에서 총 오차 4.2%와 스와프션트 오차 13.4%를 기록했고, 두 번째 데이터셋에서는 총 오차 7.8%와 스와프션트 오차 5.5%를 기록하여 다양한 금융 도구에서 뛰어난 성능를 보였다.
• 결과는 혼탁 모델이 개별 전방 수익률을 별도로 모델링하지 않더라도 LIBOR 마켓 모델의 풍부한 상관관계를 재현할 수 있으며, 더 단순한 대안을 제공할 수 있음을 시사한다.